Integrale Simple Improprii

INTEGRALE SIMPLE IMPROPRII

Noţiunea de integrală (definită) a fost introdusă pentru funcţii mărginite definite pe un compact.

Prin urmare, ne putem pune problema în ce măsură poate fi extinsă noţiunea de integrală (definită) pentru funcţii mărginite sau nemărginite definite pe un interval necompact.

Definiţie:

Integrala definită pentru o funcţie mărginită sau nemărginită pe un interval necompact, dacă există, se numeşte integrală improprie sau integrală generalizată.

Definiţie:

Funcţia este integrabilă impropriu (în sens generalizat) pe dacă există şi este finită limita:

În acest caz, spunem că integrala improprie este convergentă.

Criterii de convergenţă

1) Criteriul lui Cauchy

Fie (b este finit sau infinit) şi presupunem că este integrabilă pe orice compact .

Integrala este convergentă dacă şi numai dacă pentru orice există un astfel încât pentru orice , cu proprietatea are loc inegalitatea

(6.5)

2) Fie , oricare ar fi compactul .

Dacă este absolut convergentă atunci ea este şi convergentă.

3) Criteriul comparaţiei

Fie (b finit sau infinit)

Dacă: a) pentru orice ,

b) şi pentru orice

Atunci:

a) convergentă convergentă

b) divergentă divergentă

4) Fie funcţia ,

Dacă:

a) ,

b)

c)

Atunci:

a) dacă , convergentă

b) dacă , divergentă

5) Fie funcţia , finit

Dacă:

a) ,

b)

c)

Atunci:

a) dacă , convergentă

b) dacă , divergentă

4 EXEMPLE si 9 EXERCITII

2. INTEGRALE MULTIPLE IMPROPRII

Am definit integrala dublă a funcţiei reale f, definită şi mărginită pe un domeniu compact

Vom extinde această definiţie mai întâi pentru cazul(A) în care D nu mai este mărginit şi apoi pentru cazul(B) în care pe domeniul D mărginit este definită o funcţie nemărginită.

Cazul A. Definiţie:

Domeniul este nemărginit dacă el conţine puncte exterioare oricărui disc cu centrul în originea sistemului de coordonate (figura 14).

- Figura 14 -

Definiţie:

Mulţimea nemărginită admite o exhausţiune, dacă există un şir crescator de domenii compacte din cu proprietăţile:

1) astfel incat

2) pentru orice mulţime compactă există un astfel ca