Introducere în Teoria Probabilităților

Introducere în teoria probabilităţilor

Capitolul IV

§.1. Probabilităţi

Teoria probabilităţilor este o ramură importantă a matematicii, cu aplicaţii larg răspândite în aproape fiecare sferă a activităţii umane în care există un element de incertitudine. Teoria probabilităţilor reprezintă baza teoretică pentru Statistica matematică, o ştiinţă cu vaste aplicaţii în economie, fizică, chimie, biologie.

Teoria probabilităţilor pune la dispoziţia cercetătorului din orice domeniu un punct de vedere probabilistic asupra fenomenelor naturale, în opoziţie cu cele deterministe, cu care suntem obişnuiţi. Este vorba de a aprecia desfăşurarea posibilă a unor evenimente, pe baza unor experienţe anterioare sau pe baza unor date empirice. Experienţele concrete, care pun în evidenţă un singur fenomen, ale căror rezultate sunt bine cunoscute, nu interesează calculul probabilităţilor.

Un experiment (sau experienţă) este o activitate cu rezultate observabile. Rezultatele observabile se numesc evenimente legate de experimentul respectiv.

Exemple

1. Aruncarea monedei. Se aruncă o monedă şi se observă dacă apare faţa cu valoare (V) sau faţa fără valoare (S). Experimentul este aruncarea monedei. Evenimentele sunt (V) şi (S).

2. Aruncarea zarului. Se aruncă un zar şi se observă care dintre feţele 1,2,3,4,5 sau 6 apar. Experimentul este “aruncarea zarului”, iar evenimentele sunt ω1=apariţia feţei cu un punct {1}; ωnot=2=apariţia feţei cu două punctenot={2};…ω6=apariţia feţei cu şase punctenot={6}.

3.Dacă o monedă este aruncată repetat până când apare faţa cu valoare, atunci evenimentele sunt următoarele: V,SV,SSV,SSSV,….. Ele sunt în număr infinit.

Orice rezultat al unui experiment se numeşte eveniment elementar (simplu). De exemplu, la aruncarea unui zar evenimentele elementare sunt şase: {1};{2};{3};{4};{5};{6}.

Dar, nu toate evenimentele sunt elementare.De exemplu, tot la aruncarea zarului pot apărea şi evenimente care nu sunt elementare, cum ar fi evenimentul A=” apariţia unei feţe cu un număr par de puncte” , care este o reuniune de evenimente elementare:

A=ω2 ω4 ω6.

Introducere în teoria probabilităţilor

2 Matematici aplicate in economie

Notăm cu Ω mulţimea tuturor evenimentelor elementare realizabile într-o anumită experienţă. În primul exemplu Ω={V,S}, în exemplul 2, Ω={ω1,ω2,ω3,ω4,ω5,ω6}, în exemplul 3, Ω={V,SV,SSV,SSSV,…} şi este format dintr-o infinitate de evenimente elementare.

Ω se mai numeşte evenimentul sigur, iar evenimentul care nu se poate produce la efectuarea unei experienţe se numeşte evenimentul imposibil şi se notează ∅.

Exemplu. Un experiment constă în aruncarea unei monede de trei ori şi observarea şirului de valori care apar. Mulţimea tuturor evenimentelor elementare este : Ω={VVV,VVS,VSV,SVV,SSV,SVS,VSS,SSS}.

Evenimentul A=”apariţia feţei cu valoare exact de două ori” este A={VVS,VSV,SVV}.

Evenimentul B=”apariţia cel puţin o dată a feţei cu valoare în cele trei aruncări” este Ω{SSS}.

Operaţii cu evenimente

Pe mulţimea tuturor evenimentelor corespunzătoare unei experienţe se definesc trei operaţii : “sau”, “şi”, “non”.

a) A, B sunt două evenimente, vom numi reuniunea lor şi vom nota A B evenimentul “A sau B” care se produce atunci când :

- apare numai A;

- apare numai B;

- apar simultan A şi B.

b) “A şi B” este evenimentul care se realizează atunci cănd se realizează atât A cât şi B; se notează prin A∩B.