Istoria Matematicii

Aritmetica si Teoria numerelor

Antichitate:

-au aparut nr cu 8 cifre scrise cu hieroglife , pt fiecare unitate de fiecare ordin fiind insiruite ordinele de la st la descrescator.

-erau cunoscute numai nr pozitive fara cifra zero.

- operatiile de + si – cu nr nat.

-egiptenii cunosteau fractiile cu numitorul 1.

-grecii au dat o teorie completa a nr rat. Completata de Eudoxiu cu tratarea proportiilor si rapoartelor.

-in Mesopotamia apar probleme de aproximatie:

-apare in faza incipienta th nr. irationale sub forma geom.

-un prim pas in dezv nr irat il reprez Euclid.

nr irat.

Pp. contrariul => * (p,q)=1 <=> 2q2=p2 => p par => p1 N* ai P=2p1 (p,q)=1 =>q-impar. 2P12 =q2 => q par contradictie => Q

-Tectet (sec IV iH) da o teorie sistematica a nr irat si pt prima data a consid nr de forma

-tot din antichitate se intalnesc studii legate de progresii arit si geom.

-Scoala Pitagora : mediile : h,geom,aritm; metoda falsei pozitii si ec de grI de forma

-Diofant (sec 3 si 4)este cel care reduce ec complicate prin rez unor sist cu mai multe nec la op aritm cu o sg nec.

-notiunea de divizibilitate

-nr prime, impartirea unui nr dat, 2 din nr perfecte :6 si 28, nr prietene: 220, 224 (284?), c.m.m.d.c, c.m.m.m.c

-de la Euclid (sec 3iH)th. Impartirii cu rest in N a=bq+r 0<=r<b

-Th lui Euclid privind infinitatea nr prime

Dem:

N= 1*2*3*…*p(p+1)

N: 1,2,3… => rest 1

- N nu se divide prin nici un nr prim => N prim

Deoarece N prim => N>P =>contradct N prim N>p

N=cel mai mare nr prim contradct => o infinitate de nr prime.

-Euclid: forma generala a nr perfecte:

N=2p-1(2p-1) unde (2p-1) nr prim

-6, 28, 496, 8128 (nr perfecte) nu s-a dems daca un nr perfect impar.

-Eratostenus – ciurul lui E de obtinere a nr prime ; construirea unui tabel cu nr. 1,…..2 stergand succesiv multiplii 2,………3 atat timp cat p2<n

-nu exista patrate perfecte de forma 3n+2, 4n+2, 4n+3

(Teon din Smirna)

Dems: pp ca 3n+2=p2 ; p2-2=Sm

p 0, 1(mod)

p2 0,1(mod 3)

p2-2 1,2(mod 3)

1+2+3+…+…+ =Tn n N* nr nr piramidal

12+22+…+n2= Arhimede

1+3+…+(2n-1)=n2

Orice nr impar este diferit de 2 patrate: 2n+1=(n+1)2 – n2

-Nicomob (sec 1-2 iH)

Nr. 1, 3+5, 7+9+11+… sunt cuburi

nr triunghiular Sn= 1+3+…+2p-1

orice patrat este o sume de 2 nr triunghiulare.

n=m-1

m=N

2N2=m(m+1)+m(m-1)=2N2

Diofant : putem descompune orice patrat in oricate moduri ca suma de nr nat.

X2+y2=a2 are o infinitate de sol in Q

-identitatile lui Lagrange :

(a2+b2)(c2+d2)=(ac+bd)2 + (ad-bc)=(ac-bd)2 – (ad+bc)2

Ex: 65=(12+22)(22+32)=22+82=1+64

-Diofant : Th. Orice nr nat este suma de cel mult 4 patrate.

X2+y2+z2+t2=a au intotdeauna solutii.

-Probleme de grad superior