M. Stefanovici - Integrale duble

Curs
9/10 (2 voturi)
Domeniu: Matematică
Conține 1 fișier: docx
Pagini : 60 în total
Cuvinte : 6475
Mărime: 2.34MB (arhivat)
Cost: Gratis
Profesor îndrumător / Prezentat Profesorului: Lector dr. Mircea Ștefanovici
Contine multe probleme rezolvate

Extras din document

Fie D un domeniu mărginit, de arie măsurabilă finită din planul xOy și o funcție reală de două variabile reale definită și mărginită pe D.

Se consideră o partiție (d) sau diviziune a domeniului D, adică o descompunere a acestuia într-un număr de subdomenii disjuncte, a căror reuniune este D:

Observație: O asemenea partiție se poate realiza cu ajutorul a două familii uniparametrice de curbe plane, de exemplu paralele la axele de coordonate Ox și Oy.

Se definește diametrul al domeniului , ca fiind distanța maximă dintre două puncte ale domeniului. Atunci se numește norma partiției (d), notată , cel mai mare dintre diametrele partiției: .

Se notează cu aria domeniului și se consideră un sistem de alegere a unui punct arbitrar de coordonate aparținând lui .

Se formează suma integrală

Funcția f se numește integrabilă pe domeniul de integrare D, dacă există numărul real I, astfel încât pentru astfel ca, pentru orice diviziune (d), cu și orice alegere a punctelor intermediare, să aibă loc . Numărul I este limita unică a sumelor integrale (când , ceea ce implică ), se numește integrala dublă a funcției f pe domeniul D și se notează :

Se demonstrează că dacă funcția f este continuă în D, integrala dublă există (funcția f este integrabilă pe domeniul D).

Observații: 1. Dacă funcțiile f și g sunt integrabile pe domeniul de integrare D, iar și μ sunt constante reale arbitrare, atunci funcția este integrabilă pe D și

(proprietatea de liniaritate a integralei duble)

2. Dacă domeniul , unde sunt domenii din care nu au puncte interioare comune și funcția este integrabilă pe D, atunci f este integrabilă pe fiecare din domeniile D1 și D2 și are loc egalitatea:

(proprietatea de aditivitate a integralei duble ca funcție de domeniu de integrare)

3. Dacă f este integrabilă pe domeniul D și , atunci integrala dublă din funcția f satisface inegalitatea:

4. Dacă f și g sunt integrabile pe D și , atunci între integralele celor două funcții are loc inegalitatea:

(proprietatea de monotonie a integralei duble)

5. Dacă funcția , limita finită șirului de sume integrale este aria domeniului D:

(dxdy este elementul de arie îm plan).

Un domeniu D se numește simplu în raport cu axa Oy, dacă este mărginit de dreptele x = a și x = b și de graficele a două funcții continue și : Cu alte cuvinte, D are forma:

Observații: Dacă D este un domeniu simplu în raport cu axa Oy, atunci orice paralelă la axa Oy prin punctul M(x, 0), unde a < x < b, intersectează frontiera acestui domeniu în două puncte distincte P și Q de coordonate: , , unde . Acestor puncte se numesc: P − punct de intrare în D, respectiv Q − punct de ieșire din D.

Frontiera domeniului simplu în raport cu axa Oy definit mai sus este curba netedă pe porțiuni (C+) compusă din arcele de curbă , și din segmentele de dreaptă și , unde: .

Arcul de curbă , ce reprezintă graficul funcției , se numește curba inferioară a frontierei domeniului D (ea constă din punctele de intrare în D), iar arcul de curbă , ce reprezintă graficul funcției , se numește curba superioară a frontierei domeniului D (ea constă din punctele de ieșire din D).

Frontiera (C+) a domeniului simplu în raport cu axa Oy este o curbă orientată pozitiv căci un observator care parcurge această frontieră în sensul indicat, lasă mulțimea D mereu la stânga sa.

Preview document

M. Stefanovici - Integrale duble - Pagina 1
M. Stefanovici - Integrale duble - Pagina 2
M. Stefanovici - Integrale duble - Pagina 3
M. Stefanovici - Integrale duble - Pagina 4
M. Stefanovici - Integrale duble - Pagina 5
M. Stefanovici - Integrale duble - Pagina 6
M. Stefanovici - Integrale duble - Pagina 7
M. Stefanovici - Integrale duble - Pagina 8
M. Stefanovici - Integrale duble - Pagina 9
M. Stefanovici - Integrale duble - Pagina 10
M. Stefanovici - Integrale duble - Pagina 11
M. Stefanovici - Integrale duble - Pagina 12
M. Stefanovici - Integrale duble - Pagina 13
M. Stefanovici - Integrale duble - Pagina 14
M. Stefanovici - Integrale duble - Pagina 15
M. Stefanovici - Integrale duble - Pagina 16
M. Stefanovici - Integrale duble - Pagina 17
M. Stefanovici - Integrale duble - Pagina 18
M. Stefanovici - Integrale duble - Pagina 19
M. Stefanovici - Integrale duble - Pagina 20
M. Stefanovici - Integrale duble - Pagina 21
M. Stefanovici - Integrale duble - Pagina 22
M. Stefanovici - Integrale duble - Pagina 23
M. Stefanovici - Integrale duble - Pagina 24
M. Stefanovici - Integrale duble - Pagina 25
M. Stefanovici - Integrale duble - Pagina 26
M. Stefanovici - Integrale duble - Pagina 27
M. Stefanovici - Integrale duble - Pagina 28
M. Stefanovici - Integrale duble - Pagina 29
M. Stefanovici - Integrale duble - Pagina 30
M. Stefanovici - Integrale duble - Pagina 31
M. Stefanovici - Integrale duble - Pagina 32
M. Stefanovici - Integrale duble - Pagina 33
M. Stefanovici - Integrale duble - Pagina 34
M. Stefanovici - Integrale duble - Pagina 35
M. Stefanovici - Integrale duble - Pagina 36
M. Stefanovici - Integrale duble - Pagina 37
M. Stefanovici - Integrale duble - Pagina 38
M. Stefanovici - Integrale duble - Pagina 39
M. Stefanovici - Integrale duble - Pagina 40
M. Stefanovici - Integrale duble - Pagina 41
M. Stefanovici - Integrale duble - Pagina 42
M. Stefanovici - Integrale duble - Pagina 43
M. Stefanovici - Integrale duble - Pagina 44
M. Stefanovici - Integrale duble - Pagina 45
M. Stefanovici - Integrale duble - Pagina 46
M. Stefanovici - Integrale duble - Pagina 47
M. Stefanovici - Integrale duble - Pagina 48
M. Stefanovici - Integrale duble - Pagina 49
M. Stefanovici - Integrale duble - Pagina 50
M. Stefanovici - Integrale duble - Pagina 51
M. Stefanovici - Integrale duble - Pagina 52
M. Stefanovici - Integrale duble - Pagina 53
M. Stefanovici - Integrale duble - Pagina 54
M. Stefanovici - Integrale duble - Pagina 55
M. Stefanovici - Integrale duble - Pagina 56
M. Stefanovici - Integrale duble - Pagina 57
M. Stefanovici - Integrale duble - Pagina 58
M. Stefanovici - Integrale duble - Pagina 59
M. Stefanovici - Integrale duble - Pagina 60

Conținut arhivă zip

  • M. Stefanovici - Integrale duble.docx

Alții au mai descărcat și

Geometrie Computațională

1. Complemente de geometrie si metode de aproximare 1.1. Spatii vectoriale. Spatii afine. Fie N - multimea numerelor naturale, Z - multimea...

Probleme de Programare Liniară de Tip Transport

Forma generală a unei probleme de tip transport este dată de tabelul: B1 B2 ... Bn Disp. A1 c11 C12 ... c1n D1 A2 c21 C22 ... c2n D2 ... ......

Matematică discretă

LECŢIA 1. - GRAFURI CU ARCE VALORIZATE. DRUM DE LUNGIME MINIMĂ 3.1 Noţiuni introductive. Punerea problemei Unele procese şi fenomene practice...

Limbajul PHP

CAPITOLUL I Limbajul PHP (PHP Hypertext Preprocessor) 1. Introducere. Funcţionarea motorului PHP Definiţie recursivă: PHP (PHP Hypertext...

Calcul Numeric

Cap.I Metode numerice de rezolvare a sistemelor de ecuatii liniare Curs 1. Cuprins: Introducere Metode exacte: Metoda de eliminare Gauss -...

Matematici Speciale

FUNCT¸ II COMPLEXE 1.1 Mult¸imea numerelor complexe Mult¸imea numerelor complexe a apØarut din ˆincercarea de a extinde mult¸imea numerelor...

Ecuatii Diferentiale

Teoria probabilit˘at¸ilor este o teorie matematic˘a deductiv˘a, care studiaz˘a fenomenele aleatoare de mas˘a. Aceste fenomene au proprietatea de...

Matematici Speciale

Cursul nr. 1 Matematici speciale CAPITOLUL I FUNCŢII COMPLEXE 1. Numere complexe 1.1. Construcţia numerelor complexe Mulţimea numerelor...

Ai nevoie de altceva?