Extras din curs

Fie D un domeniu mărginit, de arie măsurabilă finită din planul xOy și o funcție reală de două variabile reale definită și mărginită pe D.

Se consideră o partiție (d) sau diviziune a domeniului D, adică o descompunere a acestuia într-un număr de subdomenii disjuncte, a căror reuniune este D:

Observație: O asemenea partiție se poate realiza cu ajutorul a două familii uniparametrice de curbe plane, de exemplu paralele la axele de coordonate Ox și Oy.

Se definește diametrul al domeniului , ca fiind distanța maximă dintre două puncte ale domeniului. Atunci se numește norma partiției (d), notată , cel mai mare dintre diametrele partiției: .

Se notează cu aria domeniului și se consideră un sistem de alegere a unui punct arbitrar de coordonate aparținând lui .

Se formează suma integrală

Funcția f se numește integrabilă pe domeniul de integrare D, dacă există numărul real I, astfel încât pentru astfel ca, pentru orice diviziune (d), cu și orice alegere a punctelor intermediare, să aibă loc . Numărul I este limita unică a sumelor integrale (când , ceea ce implică ), se numește integrala dublă a funcției f pe domeniul D și se notează :

Se demonstrează că dacă funcția f este continuă în D, integrala dublă există (funcția f este integrabilă pe domeniul D).

Observații: 1. Dacă funcțiile f și g sunt integrabile pe domeniul de integrare D, iar și μ sunt constante reale arbitrare, atunci funcția este integrabilă pe D și

(proprietatea de liniaritate a integralei duble)

2. Dacă domeniul , unde sunt domenii din care nu au puncte interioare comune și funcția este integrabilă pe D, atunci f este integrabilă pe fiecare din domeniile D1 și D2 și are loc egalitatea:

(proprietatea de aditivitate a integralei duble ca funcție de domeniu de integrare)

3. Dacă f este integrabilă pe domeniul D și , atunci integrala dublă din funcția f satisface inegalitatea:

4. Dacă f și g sunt integrabile pe D și , atunci între integralele celor două funcții are loc inegalitatea:

(proprietatea de monotonie a integralei duble)

5. Dacă funcția , limita finită șirului de sume integrale este aria domeniului D:

(dxdy este elementul de arie îm plan).

Un domeniu D se numește simplu în raport cu axa Oy, dacă este mărginit de dreptele x = a și x = b și de graficele a două funcții continue și : Cu alte cuvinte, D are forma:

Observații: Dacă D este un domeniu simplu în raport cu axa Oy, atunci orice paralelă la axa Oy prin punctul M(x, 0), unde a < x < b, intersectează frontiera acestui domeniu în două puncte distincte P și Q de coordonate: , , unde . Acestor puncte se numesc: P − punct de intrare în D, respectiv Q − punct de ieșire din D.

Frontiera domeniului simplu în raport cu axa Oy definit mai sus este curba netedă pe porțiuni (C+) compusă din arcele de curbă , și din segmentele de dreaptă și , unde: .

Arcul de curbă , ce reprezintă graficul funcției , se numește curba inferioară a frontierei domeniului D (ea constă din punctele de intrare în D), iar arcul de curbă , ce reprezintă graficul funcției , se numește curba superioară a frontierei domeniului D (ea constă din punctele de ieșire din D).

Frontiera (C+) a domeniului simplu în raport cu axa Oy este o curbă orientată pozitiv căci un observator care parcurge această frontieră în sensul indicat, lasă mulțimea D mereu la stânga sa.