Matematici Speciale

Curs
9.3/10 (4 voturi)
Domeniu: Matematică
Conține 14 fișiere: pdf
Pagini : 306 în total
Cuvinte : 44642
Mărime: 2.11MB (arhivat)
Cost: Gratis
Profesor îndrumător / Prezentat Profesorului: Maksay Stefan

Extras din document

CAPITOLUL I

ECUAŢII DIFERENŢIALE DE ORDINUL ÎNTÂI

§ 1. Definiţia ecuaţiilor diferenţiale.

Generalităţi.

Se consideră funcţia reală continuă F(x,y,y′,...,y(n)), definită pe [a,b] x Y,

Y ⊂ Rn+1 fiind un domeniu, având ca argumente variabila reală x ∈ [a,b] şi funcţia

reală y împreună cu derivatele ei y′, y′′,...,y(n).

Prin ecuaţia diferenţială de ordinul n generată de F şi notată

F(x,y,y′,...,y(n)) = 0, (1)

se înţelege problema găsirii unor funcţii f : [a,b] → R, care să satisfacă

- f ∈ Cn[a,b],

-(x, f(x), f′(x), ..., f(n)(x)) ∈ [a,b] x Y,

-are loc identitatea

F(x, f(x), f′(x), ..., f(n)(x)) ≡ 0. (2)

Funcţiile reale f(x) care îndeplinesc condiţiile de mai sus se numesc soluţii ale

ecuaţiei diferenţiale (1).

Numărul n, ordinul cel mai înalt de derivare, se numeşte ordinul ecuaţiei

diferenţiale.

Dacă n = 1 obţinem ecuaţiile diferenţiale de ordinul întâi care sunt, conform

definiţiei, relaţii de forma

F(x,y,y′) = 0 (formă implicită), (3)

sau

y′ = f(x,y), (formă explicită). (4)

Exemple

1. Ecuaţia diferenţială y′ = 2y este o ecuaţie diferenţială de ordinul întâi. O

soluţie a ecuaţiei este y = e2x, x ∈ R.

10 Ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi - 1

Funcţia y = C e2x, unde C este constantă arbitrară, reprezintă o familie de soluţii

ale ecuaţiei date.

2. Ecuaţia y′′ + y = x este o ecuaţie diferenţială de ordinul doi.

Funcţia y = C1 sin x + C2 cos x + x, x ∈ R, C1, C2 fiind două constante arbitrare,

este o familie de soluţii ale ecuaţiei date.

Prin definiţie, funcţia g(x,C) este soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale de

ordinul întâi (3) dacă g este soluţie a ecuaţiei şi dacă prin alegerea convenabilă a

constantei C, funcţia g(x,C) se transformă în orice soluţie a ecuaţiei date.

Se poate demonstra că, în general, soluţia generală a unei ecuaţii diferenţiale de

ordinul n depinde de n constante arbitrare.

Soluţia generală a unei ecuaţii diferenţiale se mai numeşte şi integrala generală a

ecuaţiei considerate.

Soluţia generală a unei ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi poate fi dată şi

implicit printr-o relaţie de forma

R(x,y,C) = 0, (5)

sau parametric printr-un sistem

x = ϕ(t,C), y = ψ(t,C). (6)

Se numeşte soluţia particulară a ecuaţiei (3) o funcţie y = g1(x), x ∈ [a,b], care se

obţine din soluţia generală y = g(x,C) dând o valoare particulară constantei arbitrare C.

Soluţia care nu se obţine din soluţia generală pentru nici o valoare particulară a

constantei arbitrare se numeşte soluţie singulară.

De exemplu, ecuaţia y′2 + xy′ – y = 0 are soluţia generală y = Cx + C2, x ∈ R şi

soluţia singulară x2

y = − 1 , x ∈ R.

Graficul unei soluţii a unei ecuaţii diferenţiale este o curbă plană, numită curbă

integrală.

Fie ecuaţia (4) cu f continuă într-un domeniu plan D. Se poate demonstra că

există o soluţie unică a ecuaţiei (4), al cărei grafic trece printr-un punct (x0,y0) ∈ D.

1.1 Definiţia ecuaţiilor diferenţiale 11

Problema determinării soluţiei ecuaţiei (4), y = g(x), care pentru x = x0 ia

valoarea y = y0, se numeşte problema lui Cauchy, iar condiţia ca pentru x = x0 să ia

valoarea dată y0 = g(x0), se numeşte condiţie iniţială.

În general, pentru o ecuaţie diferenţială de ordinul n, problema lui Cauchy se

exprimă astfel:

Fiind dată o ecuaţie diferenţială de ordinul n

y(n) = f(x,y,y′,...,y(n-1)),

să se determine soluţia acestei ecuaţii care îndeplineşte condiţiile

y(x0) = y0 ,

y′(x0) = y′0 ,

..................

y(n-1)(x0) = y0

(n-1),

unde

y0

, y′0,...,y0

(n-1) sunt numere date.

Condiţiile de mai sus se numesc condiţii iniţiale sau condiţiile lui Cauchy.

Orice familie de curbe plane f(x,y,C) = 0, (x,y) ∈ D, cu f continuă şi derivabilă

parţial în D, verifică o ecuaţie de ordinul I. Într-adevăr, derivând în raport cu x,

f′x + y′f′y = 0,

şi eliminând pe C între aceste două relaţii obţinem

ϕ(x, y, y′)= 0 ,

adică o ecuaţie diferenţială de ordinul I.

Aplicaţie. Să se găsească ecuaţia diferenţială a familiei de curbe

xy + Cy – x2 = 0.

Soluţie. Dacă derivăm în raport cu x avem

y – 2x + (x + C) y′ = 0.

Din prima relaţie rezultă

x + C = x2/ y,

care înlocuită în a doua conduce la ecuaţia diferenţială

Preview document

Matematici Speciale - Pagina 1
Matematici Speciale - Pagina 2
Matematici Speciale - Pagina 3
Matematici Speciale - Pagina 4
Matematici Speciale - Pagina 5
Matematici Speciale - Pagina 6
Matematici Speciale - Pagina 7
Matematici Speciale - Pagina 8
Matematici Speciale - Pagina 9
Matematici Speciale - Pagina 10
Matematici Speciale - Pagina 11
Matematici Speciale - Pagina 12
Matematici Speciale - Pagina 13
Matematici Speciale - Pagina 14
Matematici Speciale - Pagina 15
Matematici Speciale - Pagina 16
Matematici Speciale - Pagina 17
Matematici Speciale - Pagina 18
Matematici Speciale - Pagina 19
Matematici Speciale - Pagina 20
Matematici Speciale - Pagina 21
Matematici Speciale - Pagina 22
Matematici Speciale - Pagina 23
Matematici Speciale - Pagina 24
Matematici Speciale - Pagina 25
Matematici Speciale - Pagina 26
Matematici Speciale - Pagina 27
Matematici Speciale - Pagina 28
Matematici Speciale - Pagina 29
Matematici Speciale - Pagina 30
Matematici Speciale - Pagina 31
Matematici Speciale - Pagina 32
Matematici Speciale - Pagina 33
Matematici Speciale - Pagina 34
Matematici Speciale - Pagina 35
Matematici Speciale - Pagina 36
Matematici Speciale - Pagina 37
Matematici Speciale - Pagina 38
Matematici Speciale - Pagina 39
Matematici Speciale - Pagina 40
Matematici Speciale - Pagina 41
Matematici Speciale - Pagina 42
Matematici Speciale - Pagina 43
Matematici Speciale - Pagina 44
Matematici Speciale - Pagina 45
Matematici Speciale - Pagina 46
Matematici Speciale - Pagina 47
Matematici Speciale - Pagina 48
Matematici Speciale - Pagina 49
Matematici Speciale - Pagina 50
Matematici Speciale - Pagina 51
Matematici Speciale - Pagina 52
Matematici Speciale - Pagina 53
Matematici Speciale - Pagina 54
Matematici Speciale - Pagina 55
Matematici Speciale - Pagina 56
Matematici Speciale - Pagina 57
Matematici Speciale - Pagina 58
Matematici Speciale - Pagina 59
Matematici Speciale - Pagina 60
Matematici Speciale - Pagina 61
Matematici Speciale - Pagina 62
Matematici Speciale - Pagina 63
Matematici Speciale - Pagina 64
Matematici Speciale - Pagina 65
Matematici Speciale - Pagina 66
Matematici Speciale - Pagina 67
Matematici Speciale - Pagina 68
Matematici Speciale - Pagina 69
Matematici Speciale - Pagina 70
Matematici Speciale - Pagina 71
Matematici Speciale - Pagina 72
Matematici Speciale - Pagina 73
Matematici Speciale - Pagina 74
Matematici Speciale - Pagina 75
Matematici Speciale - Pagina 76
Matematici Speciale - Pagina 77
Matematici Speciale - Pagina 78
Matematici Speciale - Pagina 79
Matematici Speciale - Pagina 80
Matematici Speciale - Pagina 81
Matematici Speciale - Pagina 82
Matematici Speciale - Pagina 83
Matematici Speciale - Pagina 84
Matematici Speciale - Pagina 85
Matematici Speciale - Pagina 86
Matematici Speciale - Pagina 87
Matematici Speciale - Pagina 88
Matematici Speciale - Pagina 89
Matematici Speciale - Pagina 90
Matematici Speciale - Pagina 91
Matematici Speciale - Pagina 92
Matematici Speciale - Pagina 93
Matematici Speciale - Pagina 94
Matematici Speciale - Pagina 95
Matematici Speciale - Pagina 96
Matematici Speciale - Pagina 97
Matematici Speciale - Pagina 98
Matematici Speciale - Pagina 99
Matematici Speciale - Pagina 100
Matematici Speciale - Pagina 101
Matematici Speciale - Pagina 102
Matematici Speciale - Pagina 103
Matematici Speciale - Pagina 104
Matematici Speciale - Pagina 105
Matematici Speciale - Pagina 106
Matematici Speciale - Pagina 107
Matematici Speciale - Pagina 108
Matematici Speciale - Pagina 109
Matematici Speciale - Pagina 110
Matematici Speciale - Pagina 111
Matematici Speciale - Pagina 112
Matematici Speciale - Pagina 113
Matematici Speciale - Pagina 114
Matematici Speciale - Pagina 115
Matematici Speciale - Pagina 116
Matematici Speciale - Pagina 117
Matematici Speciale - Pagina 118
Matematici Speciale - Pagina 119
Matematici Speciale - Pagina 120
Matematici Speciale - Pagina 121
Matematici Speciale - Pagina 122
Matematici Speciale - Pagina 123
Matematici Speciale - Pagina 124
Matematici Speciale - Pagina 125
Matematici Speciale - Pagina 126
Matematici Speciale - Pagina 127
Matematici Speciale - Pagina 128
Matematici Speciale - Pagina 129
Matematici Speciale - Pagina 130
Matematici Speciale - Pagina 131
Matematici Speciale - Pagina 132
Matematici Speciale - Pagina 133
Matematici Speciale - Pagina 134
Matematici Speciale - Pagina 135
Matematici Speciale - Pagina 136
Matematici Speciale - Pagina 137
Matematici Speciale - Pagina 138
Matematici Speciale - Pagina 139
Matematici Speciale - Pagina 140
Matematici Speciale - Pagina 141
Matematici Speciale - Pagina 142
Matematici Speciale - Pagina 143
Matematici Speciale - Pagina 144
Matematici Speciale - Pagina 145
Matematici Speciale - Pagina 146
Matematici Speciale - Pagina 147
Matematici Speciale - Pagina 148
Matematici Speciale - Pagina 149
Matematici Speciale - Pagina 150
Matematici Speciale - Pagina 151
Matematici Speciale - Pagina 152
Matematici Speciale - Pagina 153
Matematici Speciale - Pagina 154
Matematici Speciale - Pagina 155
Matematici Speciale - Pagina 156
Matematici Speciale - Pagina 157
Matematici Speciale - Pagina 158
Matematici Speciale - Pagina 159
Matematici Speciale - Pagina 160
Matematici Speciale - Pagina 161
Matematici Speciale - Pagina 162
Matematici Speciale - Pagina 163
Matematici Speciale - Pagina 164
Matematici Speciale - Pagina 165
Matematici Speciale - Pagina 166
Matematici Speciale - Pagina 167
Matematici Speciale - Pagina 168
Matematici Speciale - Pagina 169
Matematici Speciale - Pagina 170
Matematici Speciale - Pagina 171
Matematici Speciale - Pagina 172
Matematici Speciale - Pagina 173
Matematici Speciale - Pagina 174
Matematici Speciale - Pagina 175
Matematici Speciale - Pagina 176
Matematici Speciale - Pagina 177
Matematici Speciale - Pagina 178
Matematici Speciale - Pagina 179
Matematici Speciale - Pagina 180
Matematici Speciale - Pagina 181
Matematici Speciale - Pagina 182
Matematici Speciale - Pagina 183
Matematici Speciale - Pagina 184
Matematici Speciale - Pagina 185
Matematici Speciale - Pagina 186
Matematici Speciale - Pagina 187
Matematici Speciale - Pagina 188
Matematici Speciale - Pagina 189
Matematici Speciale - Pagina 190
Matematici Speciale - Pagina 191
Matematici Speciale - Pagina 192
Matematici Speciale - Pagina 193
Matematici Speciale - Pagina 194
Matematici Speciale - Pagina 195
Matematici Speciale - Pagina 196
Matematici Speciale - Pagina 197
Matematici Speciale - Pagina 198
Matematici Speciale - Pagina 199
Matematici Speciale - Pagina 200
Matematici Speciale - Pagina 201
Matematici Speciale - Pagina 202
Matematici Speciale - Pagina 203
Matematici Speciale - Pagina 204
Matematici Speciale - Pagina 205
Matematici Speciale - Pagina 206
Matematici Speciale - Pagina 207
Matematici Speciale - Pagina 208
Matematici Speciale - Pagina 209
Matematici Speciale - Pagina 210
Matematici Speciale - Pagina 211
Matematici Speciale - Pagina 212
Matematici Speciale - Pagina 213
Matematici Speciale - Pagina 214
Matematici Speciale - Pagina 215
Matematici Speciale - Pagina 216
Matematici Speciale - Pagina 217
Matematici Speciale - Pagina 218
Matematici Speciale - Pagina 219
Matematici Speciale - Pagina 220
Matematici Speciale - Pagina 221
Matematici Speciale - Pagina 222
Matematici Speciale - Pagina 223
Matematici Speciale - Pagina 224
Matematici Speciale - Pagina 225
Matematici Speciale - Pagina 226
Matematici Speciale - Pagina 227
Matematici Speciale - Pagina 228
Matematici Speciale - Pagina 229
Matematici Speciale - Pagina 230
Matematici Speciale - Pagina 231
Matematici Speciale - Pagina 232
Matematici Speciale - Pagina 233
Matematici Speciale - Pagina 234
Matematici Speciale - Pagina 235
Matematici Speciale - Pagina 236
Matematici Speciale - Pagina 237
Matematici Speciale - Pagina 238
Matematici Speciale - Pagina 239
Matematici Speciale - Pagina 240
Matematici Speciale - Pagina 241
Matematici Speciale - Pagina 242
Matematici Speciale - Pagina 243
Matematici Speciale - Pagina 244
Matematici Speciale - Pagina 245
Matematici Speciale - Pagina 246
Matematici Speciale - Pagina 247
Matematici Speciale - Pagina 248
Matematici Speciale - Pagina 249
Matematici Speciale - Pagina 250
Matematici Speciale - Pagina 251
Matematici Speciale - Pagina 252
Matematici Speciale - Pagina 253
Matematici Speciale - Pagina 254
Matematici Speciale - Pagina 255
Matematici Speciale - Pagina 256
Matematici Speciale - Pagina 257
Matematici Speciale - Pagina 258
Matematici Speciale - Pagina 259
Matematici Speciale - Pagina 260
Matematici Speciale - Pagina 261
Matematici Speciale - Pagina 262
Matematici Speciale - Pagina 263
Matematici Speciale - Pagina 264
Matematici Speciale - Pagina 265
Matematici Speciale - Pagina 266
Matematici Speciale - Pagina 267
Matematici Speciale - Pagina 268
Matematici Speciale - Pagina 269
Matematici Speciale - Pagina 270
Matematici Speciale - Pagina 271
Matematici Speciale - Pagina 272
Matematici Speciale - Pagina 273
Matematici Speciale - Pagina 274
Matematici Speciale - Pagina 275
Matematici Speciale - Pagina 276
Matematici Speciale - Pagina 277
Matematici Speciale - Pagina 278
Matematici Speciale - Pagina 279
Matematici Speciale - Pagina 280
Matematici Speciale - Pagina 281
Matematici Speciale - Pagina 282
Matematici Speciale - Pagina 283
Matematici Speciale - Pagina 284
Matematici Speciale - Pagina 285
Matematici Speciale - Pagina 286
Matematici Speciale - Pagina 287
Matematici Speciale - Pagina 288
Matematici Speciale - Pagina 289
Matematici Speciale - Pagina 290
Matematici Speciale - Pagina 291
Matematici Speciale - Pagina 292
Matematici Speciale - Pagina 293
Matematici Speciale - Pagina 294
Matematici Speciale - Pagina 295
Matematici Speciale - Pagina 296
Matematici Speciale - Pagina 297
Matematici Speciale - Pagina 298
Matematici Speciale - Pagina 299
Matematici Speciale - Pagina 300
Matematici Speciale - Pagina 301
Matematici Speciale - Pagina 302
Matematici Speciale - Pagina 303
Matematici Speciale - Pagina 304
Matematici Speciale - Pagina 305
Matematici Speciale - Pagina 306

Conținut arhivă zip

  • A_Bibliografie.pdf
  • B3_SERII_FOURIER_R.pdf
  • C1_EC_ORD_I.pdf
  • C2_EC_ORD_SUP.pdf
  • C3_BESSEL.pdf
  • D1_ECD_P_ORD_I.pdf
  • E3TRLAPLACER.pdf
  • E4TRCMPR.pdf
  • G1ELEMENTEPROB.pdf
  • G2SCHEME.pdf
  • G3VARDISCRETE.pdf
  • G4VARCONT.pdf
  • G5REPARTITII.pdf
  • M4_INT_SUPR.pdf

Alții au mai descărcat și

Matematici Speciale cu Teorie pe Scurt

1.Functii Analitice.Relatiile Couchy-Rieman Fie E o multime de nr. C f o functie (univoca) definite pe E (f:E) zoÌE Spunem ca f are limita...

Geometrie

Ului Axiomatizare lui Euclid Coordonatizarea Decasdes Rerre  Discurs asupra metodei Apendix  La Geometrie 1637 ax + by + c (x-x0)² + (y-y0)²...

Geometrie Computațională

1. Complemente de geometrie si metode de aproximare 1.1. Spatii vectoriale. Spatii afine. Fie N - multimea numerelor naturale, Z - multimea...

Matematica Financiara

OBIECTUL MATEMATICILOR FINANCIARE (INTRODUCERE) Direct sau indirect, imediat sau dupa un anumit timp, eforturile si efectele unei activitati...

Matematica pentru economisti. Probabilitate

Câmp de evenimente. Probabilitate 1. Câmp de evenimente Teoria probabilitatilor studiaza legile dupa care evolueaza fenomenele aleatoare. Vom...

Elemente de Teoria Erorilor

Numere aproximative. Erori a) Sursele si clasificarea erorilor. În rezolvarea numerica a unei probleme deosebim - în general - trei feluri de...

Analiza matematică

OBIECTIVELE Unității de învățare Nr. 1 Principalele obiective ale Unității de învățare Nr. 1 sunt: - Recapitularea noțiunilor de bază ale...

Te-ar putea interesa și

Matematici Speciale cu Teorie pe Scurt

1.Functii Analitice.Relatiile Couchy-Rieman Fie E o multime de nr. C f o functie (univoca) definite pe E (f:E) zoÌE Spunem ca f are limita...

Matematici Speciale

Subiectu 1 Mărime scalară Definiţie: O mărime reprezentată printr-un număr după ce s-a fixat o unitate de măsură se numeşte mărime scalară....

Matematici Speciale

Laboratorul 1 1. Sum: aceasta functie calculeaza suma elementelor unei matrici. Pentru a defini o matrice, tastaţi la linia de comanda in Command...

Matematici speciale - funcții complexe

1. Numere complexe Un număr complex se defineşte ca o pereche ordonată de numere reale unde a se numeşte partea reală, iar b – partea imaginară a...

Matematici Speciale

Tema de casă nr.1 1. Funcţii şi formule trigonometrice 2. Formule de derivare 3. Formule de integrare Temă de casă nr.2 1. Să se determine...

Matematici Speciale

Capitolul I FUNCŢII COMPLEXE 1. Să se determine funcţia olomorfă f(z) ştiind că partea reală a sa u(x,y)=ln(x2+y2) şi f(1)=0. Soluţie:...

Matematici Speciale

CAPITOLUL I ECUAŢII DIFERENŢIALE 1. Ecuaţii diferenţiale. Soluţia generală. Soluţii particulare. Interpretarea geometrică. Exemple. Problema...

Matematici Speciale

Numere complexe 1. Corpul numerelor complexe. 1. Scurt istoric 2. Construcţia corpului numerelor complexe 3. Modul, argument, conjugat 4....

Ai nevoie de altceva?