Extras din curs
CAPITOLUL I
ECUAŢII DIFERENŢIALE DE ORDINUL ÎNTÂI
§ 1. Definiţia ecuaţiilor diferenţiale.
Generalităţi.
Se consideră funcţia reală continuă F(x,y,y′,...,y(n)), definită pe [a,b] x Y,
Y ⊂ Rn+1 fiind un domeniu, având ca argumente variabila reală x ∈ [a,b] şi funcţia
reală y împreună cu derivatele ei y′, y′′,...,y(n).
Prin ecuaţia diferenţială de ordinul n generată de F şi notată
F(x,y,y′,...,y(n)) = 0, (1)
se înţelege problema găsirii unor funcţii f : [a,b] → R, care să satisfacă
- f ∈ Cn[a,b],
-(x, f(x), f′(x), ..., f(n)(x)) ∈ [a,b] x Y,
-are loc identitatea
F(x, f(x), f′(x), ..., f(n)(x)) ≡ 0. (2)
Funcţiile reale f(x) care îndeplinesc condiţiile de mai sus se numesc soluţii ale
ecuaţiei diferenţiale (1).
Numărul n, ordinul cel mai înalt de derivare, se numeşte ordinul ecuaţiei
diferenţiale.
Dacă n = 1 obţinem ecuaţiile diferenţiale de ordinul întâi care sunt, conform
definiţiei, relaţii de forma
F(x,y,y′) = 0 (formă implicită), (3)
sau
y′ = f(x,y), (formă explicită). (4)
Exemple
1. Ecuaţia diferenţială y′ = 2y este o ecuaţie diferenţială de ordinul întâi. O
soluţie a ecuaţiei este y = e2x, x ∈ R.
10 Ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi - 1
Funcţia y = C e2x, unde C este constantă arbitrară, reprezintă o familie de soluţii
ale ecuaţiei date.
2. Ecuaţia y′′ + y = x este o ecuaţie diferenţială de ordinul doi.
Funcţia y = C1 sin x + C2 cos x + x, x ∈ R, C1, C2 fiind două constante arbitrare,
este o familie de soluţii ale ecuaţiei date.
Prin definiţie, funcţia g(x,C) este soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale de
ordinul întâi (3) dacă g este soluţie a ecuaţiei şi dacă prin alegerea convenabilă a
constantei C, funcţia g(x,C) se transformă în orice soluţie a ecuaţiei date.
Se poate demonstra că, în general, soluţia generală a unei ecuaţii diferenţiale de
ordinul n depinde de n constante arbitrare.
Soluţia generală a unei ecuaţii diferenţiale se mai numeşte şi integrala generală a
ecuaţiei considerate.
Soluţia generală a unei ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi poate fi dată şi
implicit printr-o relaţie de forma
R(x,y,C) = 0, (5)
sau parametric printr-un sistem
x = ϕ(t,C), y = ψ(t,C). (6)
Se numeşte soluţia particulară a ecuaţiei (3) o funcţie y = g1(x), x ∈ [a,b], care se
obţine din soluţia generală y = g(x,C) dând o valoare particulară constantei arbitrare C.
Soluţia care nu se obţine din soluţia generală pentru nici o valoare particulară a
constantei arbitrare se numeşte soluţie singulară.
De exemplu, ecuaţia y′2 + xy′ – y = 0 are soluţia generală y = Cx + C2, x ∈ R şi
soluţia singulară x2
y = − 1 , x ∈ R.
Graficul unei soluţii a unei ecuaţii diferenţiale este o curbă plană, numită curbă
integrală.
Fie ecuaţia (4) cu f continuă într-un domeniu plan D. Se poate demonstra că
există o soluţie unică a ecuaţiei (4), al cărei grafic trece printr-un punct (x0,y0) ∈ D.
1.1 Definiţia ecuaţiilor diferenţiale 11
Problema determinării soluţiei ecuaţiei (4), y = g(x), care pentru x = x0 ia
valoarea y = y0, se numeşte problema lui Cauchy, iar condiţia ca pentru x = x0 să ia
valoarea dată y0 = g(x0), se numeşte condiţie iniţială.
În general, pentru o ecuaţie diferenţială de ordinul n, problema lui Cauchy se
exprimă astfel:
Fiind dată o ecuaţie diferenţială de ordinul n
y(n) = f(x,y,y′,...,y(n-1)),
să se determine soluţia acestei ecuaţii care îndeplineşte condiţiile
y(x0) = y0 ,
y′(x0) = y′0 ,
..................
y(n-1)(x0) = y0
(n-1),
unde
y0
, y′0,...,y0
(n-1) sunt numere date.
Condiţiile de mai sus se numesc condiţii iniţiale sau condiţiile lui Cauchy.
Orice familie de curbe plane f(x,y,C) = 0, (x,y) ∈ D, cu f continuă şi derivabilă
parţial în D, verifică o ecuaţie de ordinul I. Într-adevăr, derivând în raport cu x,
f′x + y′f′y = 0,
şi eliminând pe C între aceste două relaţii obţinem
ϕ(x, y, y′)= 0 ,
adică o ecuaţie diferenţială de ordinul I.
Aplicaţie. Să se găsească ecuaţia diferenţială a familiei de curbe
xy + Cy – x2 = 0.
Soluţie. Dacă derivăm în raport cu x avem
y – 2x + (x + C) y′ = 0.
Din prima relaţie rezultă
x + C = x2/ y,
care înlocuită în a doua conduce la ecuaţia diferenţială
Preview document
Conținut arhivă zip
- A_Bibliografie.pdf
- B3_SERII_FOURIER_R.pdf
- C1_EC_ORD_I.pdf
- C2_EC_ORD_SUP.pdf
- C3_BESSEL.pdf
- D1_ECD_P_ORD_I.pdf
- E3TRLAPLACER.pdf
- E4TRCMPR.pdf
- G1ELEMENTEPROB.pdf
- G2SCHEME.pdf
- G3VARDISCRETE.pdf
- G4VARCONT.pdf
- G5REPARTITII.pdf
- M4_INT_SUPR.pdf
Alții au mai descărcat și
1.Functii Analitice.Relatiile Couchy-Rieman Fie E o multime de nr. C f o functie (univoca) definite pe E (f:E) zoÌE Spunem ca f are limita...
Capitolul 1 Ecuatii diferentiale an univ 2001/2002 Teoria ecuatiilor si a sistemelor diferentiale reprezinta unul din domeniile fundamentale...
Tema de casă nr.1 1. Funcţii şi formule trigonometrice 2. Formule de derivare 3. Formule de integrare Temă de casă nr.2 1. Să se determine...
Fie D un domeniu mărginit, de arie măsurabilă finită din planul xOy și o funcție reală de două variabile reale definită și mărginită pe D. Se...
1. Să de integreze ecuaţia diferenţială de ordinul întâi liniară 0 0 cos − = 1 , y( ) = x y' y tgx Soluţie: Ecuaţia omogenă ataşată este:...
1. Relaţii. Definiţie. Proprietăţi generale Se consideră cunoscute noţiunile de: mulţime, clasă, operaţii cu mulţimi şi logică matematică....
Te-ar putea interesa și
1.Functii Analitice.Relatiile Couchy-Rieman Fie E o multime de nr. C f o functie (univoca) definite pe E (f:E) zoÌE Spunem ca f are limita...
Subiectu 1 Mărime scalară Definiţie: O mărime reprezentată printr-un număr după ce s-a fixat o unitate de măsură se numeşte mărime scalară....
Laboratorul 1 1. Sum: aceasta functie calculeaza suma elementelor unei matrici. Pentru a defini o matrice, tastaţi la linia de comanda in Command...
1. Numere complexe Un număr complex se defineşte ca o pereche ordonată de numere reale unde a se numeşte partea reală, iar b – partea imaginară a...
Tema de casă nr.1 1. Funcţii şi formule trigonometrice 2. Formule de derivare 3. Formule de integrare Temă de casă nr.2 1. Să se determine...
Capitolul I FUNCŢII COMPLEXE 1. Să se determine funcţia olomorfă f(z) ştiind că partea reală a sa u(x,y)=ln(x2+y2) şi f(1)=0. Soluţie:...
CAPITOLUL I ECUAŢII DIFERENŢIALE 1. Ecuaţii diferenţiale. Soluţia generală. Soluţii particulare. Interpretarea geometrică. Exemple. Problema...
1. Să de integreze ecuaţia diferenţială de ordinul întâi liniară 0 0 cos − = 1 , y( ) = x y' y tgx Soluţie: Ecuaţia omogenă ataşată este:...