Cuprins
- CAPITOLUL I ECUAŢII DIFERENŢIALE
- CAPITOLUL II . FUNCŢII COMPLEXE
- CAPITOLUL III . FUNCŢII SPECIALE
- CAPITOLUL IV . SERII FOURIER
- CAPITOLUL V . TRANSFORMĂRI INTEGRALE
- CAPITOLUL VI. ECUAŢIILE FIZICII MATEMATICE
- CAPITOLUL VII . ELEMENTE DE CALCUL VARIAŢIONAL
- CAPITOLUL VIII . DISTRIBUŢII
- CAPITOLUL IX ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITĂŢILOR
- CAPITOLUL X PROBLEME DATE LA CONCURSUL DE MATEMATICĂ “TRAIAN LALESCU”, anul II (politehnică), (fazele naţionale)-1980→1996- (selectiv). . 234
- BIBLIOGRAFIE . 239
Extras din curs
CAPITOLUL I
ECUAŢII DIFERENŢIALE
1. Ecuaţii diferenţiale. Soluţia generală.
Soluţii particulare. Interpretarea geometrică. Exemple.
Problema Cauchy.
Definiţie. Fie F(x,y,y',…,y(n)) o funcţie reală definită pe [a,b] Y,YR, având argumente variabila reală × ⊂ 1+n],[bax∈ şi funcţia reală y împreună cu derivatele ei Relaţia: .,...,'',')(nyyy
(1) F(x,y,y',…,y(n))=0
se numeşte ecuaţie diferenţială de ordinul n, dacă se cere să se determine funcţiile y=f(x) definite pe intervalul [a,b], având derivate până la ordinul n inclusiv în orice punct al intervalului [a,b] astfel încât să avem:
F(x,f(x),f' (x),…,f(n)(x))=0 pentru orice ],[bax∈.
Funcţiile reale f(x) care îndeplinesc condiţiile de mai sus se numesc soluţii ale ecuaţiei diferenţiale (1).
Dacă (1) poate fi scrisă:
(2) y(n)=f(x,y,y',…,y(n-1))
atunci (2) se numeşte forma normală a ecuaţiei (1).
Dacă n=1, din (1) avem F(x,y,y')=0 care este o ecuaţie diferenţială de ordinul întâi (sau y'=f(x,y) forma explicită). Soluţiile ecuaţiei F(x,y,y')=0 se pot pune sub forma y=φ(x,C), C constantă şi se numesc soluţii generale. Dacă dăm lui C o valoare particulară obţinem o soluţie particulară.
Ecuaţia y=xy'+y' 2 are soluţia generală y=Cx+C2şi 42xy−= numită soluţiesingulară. Din punct de vedere geometric, ecuaţia Dyxyxfdxdy∈=),( ),,(reprezintă un câmp de direcţii, graficul unei soluţii y= φ(x) este o curbă situată în D, cu proprietatea că în fiecare punct (x,y) al său, tangenta la curbă reprezentată printr-un vector face cu axa Ox un unghi α, astfel că tgα=f(x,y).
2. Ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi rezolvate
în raport cu y', integrabile prin metode elementare.
2.1. Ecuaţii cu variabile separate.
Ecuaţia diferenţială
(1) P(x)dx+Q(y)dy=0
se numeşte ecuaţie cu variabile separate. Soluţia generală se obţine astfel:
CdyyQdxxPxxyy=+∫∫00)()(
2.2. Ecuaţii omogene.
Ecuaţiile diferenţiale omogene sunt de forma:
(2) ⎟⎠⎞⎜⎝⎛=xyfdxdy .
Dacă se face schimbarea de funcţie: y=tx, ecuaţia (2) se transformă într-o ecuaţie cu variabile separate.
Într-adevăr, avem: tdxdtxdxdy+=
şi ecuaţia (2) devine: )(tftdxdtx=+ sau xdxttfdt=−)( care este o ecuaţie cu variabile separate.
Exemplu. Să se rezolve ecuaţia: .11+−=xyxydxdy Efectuând substituţia y=tx ecuaţia devine: xdxdttt−=++112 de unde integrând şi revenind la ,xyt= obţinem integrala generală: Cxyarctgyx=++22ln.
2.3. Ecuaţii reductibile la ecuaţii omogene.
Ecuaţia de forma:
(3) ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++++=222111'cybxacybxafy
unde ),(kcbadxdyykkk21 R , , ,'=∈= este reductibilă la o ecuaţie omogenă.
1)Dacă c1=c2=0, ecuaţia este omogenă de tipul anterior.
2) Dacă dreptele 0 şi 022212221≠−≠+babacc
0 şi 0222111=++=++cybxacybxa nu sunt paralele şi se intersectează în punctul (x0,y0). În acest caz facem substituţia: ⎩⎨⎧+=+=vyyuxx00
şi ecuaţia (3) devine: .2211⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++=vbuavbuafdudv Cu ajutorul substituţiei v=u·t se obţine o ecuaţie cu variabile separate.
Preview document
Conținut arhivă zip
- curs
- coperta.pdf
- curs.pdf
- probleme
- cap1.pdf
- cap2.pdf
- cap3.pdf
- cap4.pdf
- cap5.pdf
- cap6.pdf
- cap7.pdf
- cap8.pdf
Alții au mai descărcat și
Introducere Teoria ecuaţiilor diferenţiale are un rol deosebit de important în matematică şi în alte domenii ale ştiinţei. Astfel la sfârşitul...
INTRODUCERE Teoria ecuaţiilor diferenţiale¸ reprezintă unul din domeniile fundamentale ale matematicii cu largi aplicaţii în tehnică, ca de...
1.Functii Analitice.Relatiile Couchy-Rieman Fie E o multime de nr. C f o functie (univoca) definite pe E (f:E) zoÌE Spunem ca f are limita...
CAP.1. MATEMATICA , STIINTA EXACTA SAU MISTER? Inca din antichitate , marii filozofi Pitagora si Platon , au observat cum intervine matematica in...
1. Numere complexe Un număr complex se defineşte ca o pereche ordonată de numere reale unde a se numeşte partea reală, iar b – partea imaginară a...
Câmp de evenimente. Probabilitate 1. Câmp de evenimente Teoria probabilitatilor studiaza legile dupa care evolueaza fenomenele aleatoare. Vom...
FUNCT¸ II COMPLEXE 1.1 Mult¸imea numerelor complexe Mult¸imea numerelor complexe a apØarut din ˆincercarea de a extinde mult¸imea numerelor...
7.3. Conceptul de probabilitate Pentru masurarea sanselor de realizare a unui eveniment aleator s-a introdus notiunea de probabilitate. Sunt...
Te-ar putea interesa și
1.Functii Analitice.Relatiile Couchy-Rieman Fie E o multime de nr. C f o functie (univoca) definite pe E (f:E) zoÌE Spunem ca f are limita...
Subiectu 1 Mărime scalară Definiţie: O mărime reprezentată printr-un număr după ce s-a fixat o unitate de măsură se numeşte mărime scalară....
Laboratorul 1 1. Sum: aceasta functie calculeaza suma elementelor unei matrici. Pentru a defini o matrice, tastaţi la linia de comanda in Command...
1. Numere complexe Un număr complex se defineşte ca o pereche ordonată de numere reale unde a se numeşte partea reală, iar b – partea imaginară a...
Tema de casă nr.1 1. Funcţii şi formule trigonometrice 2. Formule de derivare 3. Formule de integrare Temă de casă nr.2 1. Să se determine...
Capitolul I FUNCŢII COMPLEXE 1. Să se determine funcţia olomorfă f(z) ştiind că partea reală a sa u(x,y)=ln(x2+y2) şi f(1)=0. Soluţie:...
1. Să de integreze ecuaţia diferenţială de ordinul întâi liniară 0 0 cos − = 1 , y( ) = x y' y tgx Soluţie: Ecuaţia omogenă ataşată este:...
