Metode Numerice

Introducere

Ultimele decenii au fost marcate de progresul mijloacelor de calcul. Asistăm la o competiţie între dezvoltarea tehnologică şi dezvoltarea aplicaţiilor, în particular, a celor numerice. Tehnica de calcul a devenit accesibilă pentru categorii tot mai largi de utilizatori. Globalizarea accesului la magistralele informaţiilor organizate în reţeaua Internet a dat o nouă dimensiune utilizării calculatoarelor, revoluţionând domenii întregi de activitate.

Obiectul analizei numerice îl reprezintă găsirea unor metode de aproximare eficientă a soluţiilor problemelor care pot fi exprimate prin modele matematice, eficienţă ce depinde de precizia cerută pentru rezultate şi de uşurinţa implementării. Analiza numerică este una dintre disciplinele matematice ce depinde în cea mai mare măsură de calculatorul numeric.

Drumul parcurs pentru rezolvarea unei probleme dintr-un domeniu oarecare cu ajutorul calculatorului constă în: stabilirea unui model matematic al problemei concrete (model ce se poate încadra într-o categorie cum ar fi: o ecuaţie neliniară, un sistem de ecuaţii liniare sau neliniare), care fiind de multe ori de natură continuă trebuie discretizat; soluţia problemei discretizate trebuie să fie consistentă şi stabilă (robustă); modelul discretizat trebuie transpus într-un algoritm realizabil şi eficient, descris de obicei într-un limbaj de programare evoluat.

Analiza numerică operând cu mărimi variate presupune folosirea tipului real a cărui reprezentare în calculator este aproximativă, apărând erori de rotunjire care se propagă. Deci, o metodă numerică trebuie aleasă ţinând seama de convergenţă, stabilitate, propagarea erorilor şi de analiza complexităţii algoritmului asociat.

Pentru parcurgerea şi utilizarea unui asemenea material, cititorul are nevoie de cunoştinţe de matematică la îndemâna studenţilor care au promovat primul an de studiu al oricărei facultăţi cu profil tehnic, matematico-informatic sau economic.

Metodele numerice sunt prezentate în detaliu, prin discutarea aspectelor de ordin strict matematic şi descrierea algoritmilor cu ajutorul unui limbaj de tip pseudocod.

Lucrarea are cinci capitole.

Capitolul unu are un caracter eterogen – la început se prezintă sursele de erori şi propagarea lor, apoi algoritmi şi complexitate de calcul, metode de programare, ca în final să se dea câteva noţiuni de programare în C.

Capitolul al doilea are ca obiect rezolvarea numerică a ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii algebrice neliniare. Sunt prezentate metode de localizare a soluţiei, de aproximaţii succesive şi de accelerare a convergenţei pentru ecuaţii neliniare, precum şi metode numerice de rezolvare a sistemelor algebrice neliniare.

Capitolul al treilea este dedicat rezolvării numerice a sistemelor algebrice liniare. Sunt examinate metode directe bazate pe factorizarea gaussiană, precum şi metode de aproximare.

În capitolul al patrulea se prezintă metode de tip Jacobi de rezolvare numerică a problemelor algebrice de valori şi vectori proprii, precum şi generalizarea lor.

În ultimul capitol se prezintă aproximarea funcţiilor prin interpolare de tip Lagrange, Hermite şi prin funcţii spline, precum şi aproximarea în sensul celor mai mici pătrate.