Metode Numerice - Curs 8

Cea mai bună aproximare într-un spaţiu prehilbertian. Definire şi caracterizare

Un spaţiu prehilbertian este un dublet (F,u) în care F este un spaţiu vectorial cu scalari în corpul R (sau C), iar u un produs scalar, adică o aplicaţie: u:F x F → R (f1,f2) → <f1,f2> cu f1,f2 F, având proprietăţile:

linearitate <f1+f2, f3>=<f1,f3> + <f2,f3>,

<c.f, f>=c.<f, f2>,

121comutativitate <f1, f2> = <f2, f1>

definire pozitivă <f, f> ≥ 0

nesingularitate <f, f> = 0⇔f = 0

Exemple:

F=R3 <x,y>=Σ=31iiiyx

F=C([a,b]) <f,g>=()()()∫ badxxwxgxf

()()(Σ= =m1iiiixwxgxfg,f

Fie F un spaţiu prehilbertian şi G F un subspaţiu al său de dimensiune finită, adică având un număr finit de elemente liniar independente.

Definim norma unui element f F prin

Cel mai bun aproximant în sensul celor mai mici pătrate a unui element f F în subspaţiul G este un element g cu proprietatea f,ff=

Teorema 1 Condiţia necesară şi suficientă ca g* G F să fie cel mai bun aproximant a lui f F este ca <f-g*, g>=0, g G. gfmingfGg−=− ∗

Condiţia este necesară; fie g* cel mai bun aproximant al lui f F şi presupunem că există g1 astfel încât <f-g*,g1>=k≠0. Pentru un element 121*2ggkgg+= avem =−−−−=−−=−121*121*2222ggkgf,ggkgfgf,gfgf 2122*114121*21**gkgfg,ggkg,gfgk2gf,gf−−=+−−−− *2gfgf−<−, ceea ce contrazice ipoteza că g* este cea mai bună aproximare, adică k=0.

Condiţia este suficientă : fie g G astfel ca <f-g1, g>=0, g G .

1║f-g║2=<f-g,f-g>=<f-g1-(g-g1), f-g1-(g-g1)>= ║f-g1║2+║g-g1║2 adică

║f-g1║<║f-g║ ceea ce implică g1=g*.

Teorema 2 Cea mai bună aproximare în sensul celor mai mici pătrate g* G a lui f F este unică.

Presupunem că există două cele mai bune aproximaţii g1* şi g2* ale lui f, ceea ce implică:

1

<f-g1*, g>=<f-g2*, g>=0, pentru g G şi în particular pentru g=g1*-g2* ║g1*-g2*║2 = <g1* - f + f - g2*, g> =0g,gfg,gf0*10*2=−−−44344214434421,adică g1*=g2*.

Pentru o bază, u1,…,un din G (i.e. pentru un set minimal de elemente liniar independente), un element oarecare g G şi cel mai bun aproximant se exprimă ca

ΣΣ====n1kn1kk*k*kkucg,ucg ΣΣ===−=−=−n1jj*jn1jjj**0u,gfcuc,gfg,gf n:0j,0u,gfj*==− jj*u,fu,g= Σ==n1kjjk*ku,fu,uc Σ===n1kjjkkn:1j,u,fu,uc

Sistemul poartă numele de sistem normal

Sistemul normal este simetric (produsele scalare fiind comutative, în general) şi rău condiţionat. Determinantul sistemului poartă numele de determinant Gram.