Metode Numerice - Curs 9

Ne propunem în acest capitol să calculăm în mod aproximativ valorile

, []()dxxffIba∫=

. []()()0pxffD=

în condiţiile în care

- funcţia f este continuă pe [][]()b,aCf:b,a∈ şi derivabilă în 0x

- primitiva F nu este cunoscută

- funcţia f este cunoscută numai prin valorile f(xi) pe care le ia într-un număr restrîns de puncte xi, i=0 : N

Definim o metodă aproximativă de integrare ca

, []()Σ==N1iiNiNNxfAfI

Metoda aproximativă de integrare este slab convergentă dacă

[][]0fIfIlimNN=−∞→.

In mod similar se defineşte o metodă aproximativă de derivare.

Teorema 7.1. Condiţia necesară şi suficientă ca metoda de integrare IN[f] să conveargă slab către I[f] se exprimă prin relaţiile

a) există M>0 astfel încât MaN1iiN≤Σ=, pentru toţi N=1,2,...

b) pentru toţi k=0,1,... ()∫=∞→bakkNn,dxxxIlim

1. Metode de tip Newton-Cotes

In general, pentru o formulă de integrare aproximativă putem scrie

. ()()()NN1iiNiNbaRxfAdxxwxf+= Σ∫=

funcţia pondere w:[a,b]→R+, nu modifică problema (1), întrucât putem lua g(x)=f(x).w(x), iar Rn este eroarea (sau restul) formulei aproximative de integrare.

Metodele de tip Newton-Cotes se bazează pe integrarea polinomului de interpolare, utilizând ca suport al interpolării nodurile xiN echidistante în intervalul [a,b], adică

N:0i,NabiaxiN=− +=.

Metodele de integrare de tip Fejer integrează polinomul de interpolare folosind ca noduri xiN - rădăcinile polinomului ortogonal Pn(x), definit relativ la ponderea w(x).

Coeficienţii aiN se determină impunând ca formula aproximativă să fie exactă (R=0), dacă f aparţine unei anumite clase de funcţii (de exemplu polinoame de grad ≤N, f ∈ ΠN,).

Cum funcţia este cunoscută numai în nodurile xi, i=1:N, o vom aproxima prin polinomul ei de interpolare Lagrange

, ()()()()iNN1ii1NxfxlxPxf = Σ=−

cu care putem scrie

1

, ()()()Σ∫=−= N1iiNiNba1NxfAdxxwxP

sau

()()()()()== ∫Σ∫=−dxxwxfxldxxwxPiNbaN1iiNba1N()()()()iNN1iiNbaiNN0iiNxfAdxxwxlxfΣ∫Σ=== ,

de unde

. ()()∫ =baiNiNdxxwxlA

Printr-o schimbare liniară de variabilă, coeficienţii aiN pot fi făcuţi independenţi de intervalul de integrare; ei sunt totuşi inutilizabili, fiind de valori mari şi de semne contrarii, ceea ce conduce la instabilitate numerică.

Expresia erorii în metodele de tip Newton-Cotes se deduce integrând expresia erorii din polinomul de interpolare.

, ()()()xExPxf1N1N−−+=

obţinându-se

, ()()[]()()[]()()44434442144443444421444344421NNRba1NfIba1NfIbadxxwxEdxxwxPdxxwxf∫∫∫−−+ =

deci

()()()()()()[]b,aξ,dxxwxxxx!NξfRbaN1N1N∈ −− =∫−Κ,

cu majorarea

()()()()()()dxxwxxxx!NξfRbaN1N1N −−≤∫−Κ.

Datorită instabilităţii interpolării polinomiale se folosesc polinoame de interpolare cu grad mic.

Astfel pentru N=1 se obţine formula trapezelor