Metode Numerice

I. O INTRODUCERE IN CALCULUL NUMERIC. NOTIUNEA DE ALGORITM

I.1. INTRODUCERE ÎN NOŢIUNEA DE INFORMAŢIE

Creşterea capacităţii de procesare a informaţiei asociată cu specializarea şi complexitatea unor structuri biochimice - suport fizic al procesării însăşi - poate fi considerată o proprietate profundă a universului în care trăim.

Putem vedea în acest proces de evoluţie o permanentă restructurare a substratului, realizată sub presiunea procesării de informaţie, substrat ce devine astfel din ce în ce mai senzitiv, mai reactiv, mai inteligent şi eficient în raport cu mediul în care este scufundat. Această observaţie se poate extinde şi la nivelul evoluţiei artefactului. Apariţia calculatorului şi utilizarea unor programe inteligente pentru designul circuitelor integrate a permis reducerea drastica a spaţiului total necesar (miniaturizare), a condus la un consum mai redus de energie, în esenţă a determinat o creştere a puterii de calcul, a densităţii debitului energetic într-o cantitate de materie din ce în ce mai mică. Însăşi actul procesării pare să fie cauza capabilă să modifice atât contextul cât şi substratul, contribuind astfel la accelerarea şi dezvoltarea a tot ceea ce este în jur sau cu care intră în contact. Creşterea continuă a capacităţii de procesare ne apare astfel ca fiind un proces universal, independent de materie şi nelimitat în timp. Din această perspectivă conceptul de informaţie merită revizuit.

Trebuie să acceptăm că „informaţie” este unul din cuvintele cel mai des folosite, de foarte multe ori abuziv. Diferite discipline ştiinţifice acordă diferite înţelesuri acestui termen, sau îi asociază omonime incoerente.

Cea mai frecventă definiţie a informaţiei în sens tehnic a fost aceea de date interpretate. O astfel de definiţie se întâlneşte adesea în cărţi despre dezvoltarea sistemelor informatice tehnice sau economice. Dar interpretarea este prin natura sa subiectivă, adică legată de un subiect, definit ca “minte, ego sau agent de orice fel capabil sa susţină sau să-şi asume o formă de gândire sau de conştiinţă”. Conform acestei definiţii, orice sistem informaţional are cel puţin două subsisteme – unul obiectiv (sistemul electronic de prelucrare a datelor) şi unul subiectiv (utilizatorul sau prelucrătorul uman al datelor).

I.2. ALGORITMI DE CALCUL.

INSTABILITATEA NUMERICĂ A ALGORITMILOR

Rezolvarea unei probleme impuse de practică presupune, pornind de la anumite date de intrare şi folosind un algoritm de calcul, obţinerea datelor de ieşire cerute, conform figurii 1.

Algoritmul de calcul reprezintă un sistem de reguli care transformă datele de intrare în date de ieşire cu ajutorul unor operaţii succesive, unic determinate.

Un algoritm trebuie să aibă următoarele proprietăţi:

a) Generalitate - algoritmul nu trebuie să rezolve numai o problemă, ci toate problemele din clasa respectivă.

b) Finitudine - numărul de transformări intermediare, aplicate datelor de intrare pentru a obţine datele de ieşire, este finit.

c) Unicitatea - transformările intermediare trebuie să fie unic determinate.

Alegerea corectă a algoritmului de calcul este importantă. De exemplu, rezolvarea unui sistem de ecuaţii liniare (în care numărul necunoscutelor este egal cu numărul ecuaţiilor) se poate face folosind algoritmul dat de regula lui Cramer. Totuşi, dacă sistemul are mai mult de 3 ecuaţii, evaluarea determinanţilor implicaţi în calcule reclamă un număr mare de operaţii aritmetice, astfel că, în acest caz, se recomandă să se folosească un alt algoritm de calcul.

Fie sistemul:

[1]

cu soluţia unică x = 1,0000, y = 0,0000, obţinută prin metoda eliminării. Dacă se reia sistemul de mai sus, lucrând însă doar cu 3 cifre semnificative după virgulă pentru coeficienţi, adică:

[2]

acelaşi procedeu conduce la o infinitate de soluţii. Se spune că algoritmul de calcul folosit este instabil.

Un algoritm de calcul este stabil dacă aplicat unei probleme cu date iniţiale ,,uşor perturbate” conduce la o soluţie apropiat într-un anumit sens, de soluţia problemei cu date iniţiale.

I.3. ERORI DE CALCUL, PROPAGAREA ERORILOR

Un algoritm de calcul este bine ales dacă precizia calculelor este bună. Soluţia depinde însă de o serie de erori dintre care amintim:

a) Erori iniţiale - se formează din erori de calcul (sau de măsurare) datorate preciziei instrumentului (erori instrumentale) de obicei sistematice, dar şi erori de observaţie care sunt neregulate sau întâmplătoare. Funcţia de repartiţie, normală sau gaussiană care caracterizează erorile de observaţie are o formă caracteristică