Mulțimi

NOȚIUNI INTRODUCTIVE

Conceptul de mulțime este fundamental în Matematică, acesta a fost inițial utilizat de matematicianul G. Cantor (1845-1918), fondatorul Teoriei multimilor.

Acest concept abstractizeaza ideea de a grupa împreuna obiecte si de a le vedea ca o entitate de sine statatoare.

Intuitiv, vom spune ca o mulțime este o colectie de obiecte distincte, numite elementele multimii.

Elementele unei mulțimi pot fi de orice natura: numere, persoane, litere ale alfabetului, sau chiar alte mulțimi, etc.

Prin conventie, vom nota mulțimile cu majuscule: A, B, C , iar elementele acestora cu litere mici: a, b, ..

Teorema. O mulțime se consideră definită, dacă există un criteriu, după care putem să deosebim elementele acestei mulțimii de celelalte elemente care nu fac parte din mulțime. În acest sens, o mulțime poate fi definită în trei moduri:

1. Enumerând elementele mulțimii, în acest caz mulțimea se scrie punând între acolade elementele sale.

2. Cu ajutorul diagramei Venn-Euler, în acest caz mulțimea poate fi ilustrată desenând o curbă închisă și elementele corespunzătoare vor fi reprezentate în interiorul acestei curbe.

3. Prin specificarea unei proprietăți caracteristice comune tuturor elementelor sale.

Exemplu: Sa se reprezinte multimea numerelor naturale impare mai mici decat 12 in cele trei moduri.

Solutie:

a) Prin enumerarea elementelor sale A = { 1; 3; 5; 7; 9; 11 } ;

b) Cu ajutorul unei proprietăți caracteristice elementelor sale A= {x/ x , x= 2n+1, x<12};

c) Cu ajutorul diagramei Venn — Euler

A

Faptul că a este un element al mulțimii A se notează prin a ∈ A, am utilizat aici semnul “∈” de apartenență. Contrariul acestuia este semnul “∉” de neapartenență, simbolizând că un element nu aparține unei mulțimi.

Exemplu: 3 {0; 1; 2; 3} dar 5{ 0; 1; 2; 3}.

Fiind data o multime M introducem notiunea de cardinal al unei mulțimi (sau puterea unei mulțimi) care este definit ca fiind un număr atașat mulțimii M.

Definitie: Numarul natural care exprimă numărul de elemente al unei multimi M se numeste cardinalul multimii M si se notează CardM.

Exemplu: Daca A= .{ 1; 3; 5; 7; 9} atunci Card(A) = 5.

Definitie: Doua mulțimi se numesc egale dacă si numai dacă ele sunt formate din aceleași elemente. Utilizând semnele “ ⇒ ” (implică) și “ ⇔ ” (echivalent) putem scrie:

(A = B) ⇔ (x ∈ A ⇔ x ∈ B)

În caz contrar vom scrie: A B.

Exemplu: Fie mulțimea A={ x/ x , 1  x  6} si multimea B = {x/ x , 0 - x - 7}. Sa se stabileasca daca multimile A si B sunt egale.

Solutie: prin enumerarea elementelor multimii A si B aceastea devin: A= { 1; 2; 3; 4; 5; 6} iar B= {1; 2; 3; 4; 5; 6} deci A=B.

Definiție: Mulțimea care conține toate elementele la care putem face referire se numește mulțime totala sau mulțime de referință.

Aceasta mulțime depinde de elementele cu care lucrăm. De exemplu, daca lucrăm cu mulțimi de culori, mulțimea totală va cuprinde absolut toate culorile existente.

Definiție: Mulțimea fără nici un element o notăm cu ∅ și se numește mulțimea vidă. Pentru o mulțime A ≠ ∅ familia submulțimilor acesteia formează o nouă mulțime pe care o notăm cu P(A) și care se numește familia părților lui A.

Definitie: Dacă A este o parte (submulțime) a mulțimii B, simbolizăm aceasta prin semnul de incluziune “ ⊂ ”, și anume scriem :

(A ⊂ B) ⇔ (x ∈ A ⇒ x ∈ B)

In caz contrar cand A nu este inclusa in B, se scrie A B si spunem ca a nu este o submulțime a lui B.