Extras din curs

Introducere

Studierea problemelor economice cu ajutorul matematicei, prin construirea modelelor matematice ale unor fenomene, procese si situatii economice are un istoric destul de aprofundat. Ceea ce tine de aplicarea teoriei jocurilor in studierea fenomenelor economice situatia este putin diferita deoarece insasi teoria jocurilor a aparut relativ nu demult. Mai mult, exista si un moment istoric considerat ca momentul aparitiei teoriei jocurilor: publicarea cartii lui John von Neuman si Oskar Morgenstern "Theory of Games and Economic Benahior", Princeton University Press 1944. Totusi, probleme variate ce tin de teoria jocurilor si aplicarea ei in economie are un istoric destul de indepartat, cum ar fi referintele ce tin de diverse situatii descrise in Biblia, Tora, "Arta Razboiului" de Sun Tzu (544 - 496 BC) si in alte surse. In "Arta Razboiului" apar diverse notiuni ce tin de teoria jocurilor, cum ar fi notiunea de strategie, solutie maximin / conservatista / pesimista, precum si unele exemple ce tin de jocurile ierarhice.

E cunoscut faptul ca una dintre teoremele fondatoare pentru TJ, teorema despre solutia maximin in jocurile strategice , a fost formulata de catre Emile Borel, dar a sustinut ca teorema NU este adevarata pentru toate tiputile de jocuri, inclusiv pentru jocurile strategice in strategii mixte, anume aceasta teorema a constituit un punct de referinta in crearea TJ, deoarece John von Neumann a demonstrat ca ipoteza lui Emile Borel NU este adevarata si ca orice joc polimatricial in strategii mixte are solutia maximin.

Prin conlucrarea lui John von Neumann cu Oskar Morgenstern, un matematician si un economist, a condus la crearea TJ. Este si un argument in plus care explica aplicarea larga a TJ in economie. La moment, 9 dintre premiile Nobel pentru economie au fost decernate savantilor care sunt specialisti in TJ.

Totusi, in esenta sa TJ este o disciplina profund matematica, in care sunt cercetate diverse modele de jocuri, sunt definite variate tipuri de solutii si sunt construite metode si algoritmi de solutionare a jocurilor, adica de aflare a solutiilor corespunzatoare modelelor cercetate.

In acest context, este remarcabila contributia lui John Nash, care a introdus notiunea de echilibru pentru jocurile strategice si a demonstrat teorema de existenta a echilibrului (Nash) pentru jocurile strategice convexe.

Referindu-ne la tipurile de jocuri, trebuie sa mentionam ca jocurile studiate de catre John Nash mai sunt numite si jocuri simultane, adica jocuri in care strategiile jucatorilor se aleg simultan.

O alta clasa de jocuri o constituie jocurile ierarhice / succesive in care strategiile jucatorilor se aleg succesiv. Pentru prima data asemenea tirpuri de jocuri au foststudiate in 1934 de catre Stackelberg. Pentru asemenea jocuri se fomuleaza o notiune distincta de echilibru, asa-numitul echilibru Stackelberg.

Notiunile de echilibru Nash si echilibru Stackelberg sunt diverse, adica NU sunt echivalente. Jocurile de tip Stackelberg au fost studiate si de catre Neumann si Morgenstegn (1944, 1947), Harold Kuhn (1953), Basar si Olsder (1999), Leitmann (1978), s.a.Neumann.

De fapt, aceste doua tipuri de jocuri constituie subiectul de studiu al doua domenii distincte din TJ.

In anii 60 ai sec XX in TJ au inceput se fie aplicate si notiuni din optimizarea multicriteriala, adica notiunea de optimalitate in sensul Pareto . Aceasta notiune a fost definita pentru prima data la studierea unor probleme economice de catre Vilfredo Pareto in 1906. Rezultate importante in acest context au fost obtinute de catre Blackwell (1956), Born, Tijs si van der Aarsen (1988).

In cursul nostru vom studia diverse modele de jocuri de tipul celor expuse mai sus, vom defini notiunile de solutii, echilibru, etc., si vom construi metode de solutionare a problemelor formulate. Vom examina si unele coduri de program ce tin de calcularea solutiilor jocurilor studiate, precum si vom realiza o analiza a oportunitatii folosirii lor in situatiile reale.

Teoria Jocurilor

Jocurile Stackelberg

Jocurile de tip Stackelberg reprezinta un tip special de jocuri strategice care folosesc forma normala a jocului, dar in care strategiile sunt selectate NU concomutent / simultan, ci succesiv una dupa alta.

Se considera forma normala a jocului strategic

Γ = < N, {Xp}p ∈ N, {fp(x)} p ∈ N >

N ={1, ..., n} - multimea jucatorilor

Xp ⊆ R^(k_p )- o multime de strategii ai jucatorului p ∈ N,

kp < + ∞, p ∈ N

fp(x) - functia de cost a jucatorului p definita pe produsul cartezian X = x Xp, p ∈ N

Presupunem ca jucatorii in jocul Stackelberg aleg strategiile lor ierarhic:

primul jucator alege strategia sa x1 ∈ X1 si o comunica jucatorului 2

al doilea jucator alege strategia sa x2 ∈ X2 si comunica jucatorului 3 despre strategiile alese x1 si x2

...

la sfirsit, jucatorul n alege strategia sa xn ∈ Xn tinind cont de alegerile deja facute de catre jucatorii precedenti x1, ..., xn-1

Pe profilul final x1, ..., xn, fiecare jucator calculeaza valoarea functiei sale de cost

Cind jucatorul p ∈ N alege strategia sa, jucatorii 1, 2,..., p-1 sunt numiti lideri / predecesori ai jucatorului p, iar jucatorii p+1, p+2, ..., n - succesori ai jucatorului p

Jucatorii au toata informatia despre alegerile efectuate de catre predecesori si NU au nici o informatie despre alegerile care vor fi efectuate de catre succesori. Totusi, jucatorul p (p < n) are toata informatia despre toate multimile de strategii si functiile de cost ale jucatorilor p, p+1, ..., n

Supozitie:

Fara a restringe din generalitate, vom presupune ca toti jucatorii minimizeaza valorile functiilor sale de cost

Inductia inversa. Multimile de reactie si aplicatiile de tip cel mai bun raspuns (raspuns optim)

Vom introduce notiunile de echilibru, folosind inductia inversa.