Extras din curs
Serii trigonometrice
Vom studia clasa particulară de serii de funcţii ()1nfx∞Σ cu ()()()()000,cossin,1, cu nnnnnfxafxanxbnxnxa≥==+≥∈⊂RR,
numite serii trigonometrice. În acest scop vom prezenta unele proprietăţi ale funcţiilor reale periodice. ()1nnb≥⊂R
Definiţia VI.6.
Fie f : A ⊂ R → R.
1] f se numeşte funcţie periodică, dacă există T ≠ 0 a. î. ∀x∈A să avem x + T ∈A, x - T ∈A şi:
(VI.35) f (x + T ) = f (x), ∀x∈A şi T ≠ 0.
2] Numărul real T0 > 0 cel mai mic posibil cu proprietatea f (x +T0 ) = f (x), ∀x∈A se numeşte perioada principală a funcţiei f (perioadă fundamentală a lui f).
Observaţii:
1) Dacă T0 > 0 este perioadă principală, avem: f (x + pT 0) = f (x), ∀x∈A şi ∀p∈Z.
2) Exemple:
1. f (x) = sin x, x∈R şi g (x) = cos x, x ∈R au perioada principală T0 = 2π.
2. f (x) = sin (ωx+ ϕ) şi g (x) = cos (ωx+ ϕ), cu ω, ϕ∈R, ω ≠ 0 şi x ∈R au perioada principală T0 =2πω.
3. f (x) = sin xlπ şi g (x) = cos xlπ, cu l > 0,fixat şi x ∈R au perioada principală T0 =2l.
478
3) Dacă f : A ⊂ R → R are perioada principală (fundamentală) T0 = 2π, atunci 02Txf⎛⎜π⎝⎠
⎞⎟
are perioada principală T0 = 2π şi din acest motiv se vor considera funcţii reale periodice cu T = 2π.
4) În problemele privind studiul funcţiilor trigonometrice vom considera clasa funcţiilor reale f : R → R continue pe orice interval compact din R şi cu limite laterale finite în orice punct (funcţii local integrabile Riemann pe R) periodice cu T = 2π. Pentru această clasă de funcţii are loc egalitatea:
(VI.36) ()()2,aafxdxfxdxa+ππ−π=∀∈∫∫R.
()222 şi+=0, -2aaaaaaxtπ+πππ−π−π+π−π+π⎛⎞=++=π⎜⎟⎝⎠∫∫∫∫∫∫ .
Exemple:
()();[0,)sin cu şi 0;[,0)xexfxxxgxx⎧∈π=∈=⎨∈−π⎩R se pot prelungi prin periodicitate pe R.
5) Dacă f este o funcţie periodică de perioadă T∈R* şi pentru ∀a∈R, avem [a, a + T] ⊂ A (f : A⊆ R →R) atunci construim graficul lui f pe segmentul [a, a+ T] şi prin periodicitate, cu o translaţie pe Ox a graficului de pe intervalul [a, a+ T] se obţine graficul lui f pe A⊆ R.
6) Dacă f, g: A⊆ R → R sunt funcţii periodice de perioadă T ∈R* comună, atunci funcţiile f + g, λf (λ ∈R*), f – g, fg, (0 pe Afgg≠ ) sunt periodice pe A cu aceeaşi perioadă T ≠ 0.
Preview document
Conținut arhivă zip
- Serii Trigonometrice.pdf
Alții au mai descărcat și
1. Complemente de geometrie si metode de aproximare 1.1. Spatii vectoriale. Spatii afine. Fie N - multimea numerelor naturale, Z - multimea...
OBIECTUL MATEMATICILOR FINANCIARE (INTRODUCERE) Direct sau indirect, imediat sau dupa un anumit timp, eforturile si efectele unei activitati...
Câmp de evenimente. Probabilitate 1. Câmp de evenimente Teoria probabilitatilor studiaza legile dupa care evolueaza fenomenele aleatoare. Vom...
FUNCT¸ II COMPLEXE 1.1 Mult¸imea numerelor complexe Mult¸imea numerelor complexe a apØarut din ˆincercarea de a extinde mult¸imea numerelor...
Numere aproximative. Erori a) Sursele si clasificarea erorilor. În rezolvarea numerica a unei probleme deosebim - în general - trei feluri de...
7.3. Conceptul de probabilitate Pentru masurarea sanselor de realizare a unui eveniment aleator s-a introdus notiunea de probabilitate. Sunt...
Te-ar putea interesa și
1. CRITERII DE APROXIMARE A FUNCŢIILOR 1.1. Introducere În foarte multe aplicaţii practice apare necesitatea aproximării unei funcţii f:a,b →R...
Introducere Seriile formale si functiile generatoare reprezinta una dintre notiunile de care te lovesti, oricare ar f domeniul matematicii in...
INDRODUCERE Matematica este în general definită ca ştiinţa ce studiază modelele de structură, schimbare şi spaţiu. În sens modern, matematica este...
Analiz ă dimensională Orice mărime fizică are o dimensiune care se exprimă cu ajutorul mărimilor fundamentale care apar în expresia acesteia....
Tema de casă nr.1 1. Funcţii şi formule trigonometrice 2. Formule de derivare 3. Formule de integrare Temă de casă nr.2 1. Să se determine...
1. Obiectivul lucrării În această lucrare se studiază analiza semnalelor periodice cu ajutorul seriilor Fourier. 2. Introducere teoretică 2.1....
1. Concepte de baza ale teoriei circuitelor 1.1 Starea de electrizare. Tensiunea electrica. Tensiunea electromotoare. De la fizica cunoastem ca...
Notiunea de spatiu Hilbert. Spatiul . Un spatiu Hilbert este un spatiu Banach in care norma este generata de un anumit produs scalar, anume ....