Sinteză probabilități

3 ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITĂŢILOR

Teoria probabilităţilor este o teorie matematică deductivă, izvorâtă din experienţă, ce se ocupă cu studiul fenomenelor aleatoare de masă care au proprietatea de stabilitate a frecvenţei apariţiei lor.

Probabilitatea măsoară posibilitatea realizării unui eveniment în condiţii determinate. De rezultatele teoriei probabilităţii beneficiază în primul rând statistica matematică, precum şi teoria informaţiei, teoria fiabilităţii, teoria aşteptării, teoria sistemelor etc.

3.1. EVENIMENTE. OPERAŢII CU EVENIMENTE

a) EVENIMENTE

DEFINIŢIE. Prin experienţă sau experiment se înţelege realizarea unui complex de condiţii ce conduc la obţinerea unui rezultat.

Experienţele se clasifică în:

- experienţele deterministe, la care rezultatul este unic determinat

- experienţele aleatoare, la care rezultatul obţinut face parte dintr-o mulţime de rezultate posibile;

În continuare, vom considera numai experienţe aleatoare.

DEFINIŢIE. Orice reluare a unei experienţe se numeşte probă a experienţei.

DEFINIŢIE. Prin eveniment înţelegem rezultatul unei experienţe.

DEFINIŢIE. Se numeşte eveniment elementar orice rezultat al unei experienţe care se realizează doar într-o singură probă. Se numeşte eveniment compus orice rezultat al unei experienţe care se poate realiza în mai multe probe.

EXEMPLU. La experienţa aruncării unui zar apariţia feţei cu două puncte este un eveniment elementar deoarece se realizează doar atunci când apare faţa 2. Evenimentul apariţiei unui număr par este compus, deoarece se realizează dacă apare una din feţele cu 2, 4 sau 6 puncte.

Notăm mulţimea tuturor evenimentelor elementare asociate unui experiment cu , iar mulţimea tuturor evenimentelor asociate experienţei cu E.

EVENIMENTE REMARCABILE:

1. Eveniment sigur, notat cu  ,este evenimentul ce se realizează în orice probă a experienţei.

2. Eveniment imposibil, notat cu , este evenimentul care nu este realizeaza în nici o probă a experienţei.

b) OPERAŢII CU EVENIMENTE

Fie A, B  E două evenimente

DEFINIŢIE. Spunem că evenimentul A implică evenimentul B şi notăm A  B dacă în orice probă în care s-a realizat A, se realizează şi B.

DEFINIŢIE. Evenimentul A şi B se numesc echivalente şi se notează A = B dacă şi numai dacă A  B şi B A.

DEFINIŢIE. Evenimentul “A sau B” notat A  B este eveniment care se realizează ori de câte ori s-a realizat A sau s-a realizat B.

DEFINIŢIE. Evenimentul “A şi B” notat A B este evenimentul care se realizează ori de câte ori se realizează simultan A şi B.

DEFINIŢIE. Evenimentul “A minus B” notat cu A B este evenimentul care se realizează ori de câte ori s-a realizat A şi nu s-a realizat B.

DEFINIŢIE. Evenimentul contrar lui A sau opus lui A este evenimentul notat cu A care se realizează ori de câte ori nu se realizează A.

c) COMPATIBILITATE, INCOMPATIBILITATE

DEFINIŢIE. Evenimentele A şi B se numesc compatibile dacă există cel puţin o probă a experienţei în care se realizează simultan.

OBSERVAŢIE. A, B compatibile A B

DEFINIŢIE. Evenimentele A şi B se numesc incompatibile dacă nici o probă a experimentului nu se pot realiza simultan.

OBSERVAŢIE. A, B incompatibile A B = .

3.2. DEFINIŢIA CLASICĂ A PROBABILITĂŢII

Considerăm o experienţă cu un număr finit de rezultate posibile, cu mulţimea de evenimente asociate E. Evenimentele din E se deosebesc între ele prin gradul de realizare sau posibilitatea de apariţie , care depinde de numărul de evenimente elementare care le implică.

DEFINIŢIE. Evenimentele elementare care implică un eveniment A se mai numesc şi evenimente favorabile realizării lui A.