Sisteme de ecuații liniare curs recapitulativ

Definiție: Se numește sistem de m ecuații liniare cu n necunoscute problema determinării

numerelor reale x R i  astfel încât:







 





  

  

  

a x a x a x bm

a x a x a x b

a x a x a x b

m m mn n

n n

n n

...

...

1 1 2 2

21 1 22 2 2 2

11 1 12 2 1 1

Unde:

 











 







-





m m mn

n

n

a a a

a a a

a a a

A

...

... ... ... ...

...

...

1 2

21 22 2

11 12 1

= matricea asociată sistemului

 











 







-





n b

b

b

B

...

2

1

= matricea termenilor liberi

 











 







-





n x

x

x

X

...

2

1

= matricea necunoscutelor

În raport cu cele menționate anterior, sistemul de mai sus se scrie și sub forma AX=B. În situația în

care matricea termenilor liberi este zero (B=0) sistemul se numește omogen.

Definiție: Un sistem care admite soluție se numește sistem compatibil. Dacă soluția este unică,

atunci el se numește sistem compatibil determinat, în caz contrar, numindu-se sistem compatibil

nedeterminat. Un sistem care nu are soluție se numește sistem incompatibil.

Teoremă (Kronecker-Capelli): Un sistem este compatibil dacă și numai dacă rangul matricei

sistemului este egal cu rangul matricei sale extinse.

Definiție: Fiind dat sistemul AX=B numim sistem omogen asociat, sistemul AX=0.

Metode de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare

a. Metoda matriceală

A x X = B

Dacă determinantul asociat matricei este diferit de zero rezultă că matricea A are inversă (sau este

inversabilă) ceea ce însemană că  1 - A . Pentru a calcula valoarea necunoscutelor unui sistem

folosind metoda matriceală se folosește ecuația: X A xB - 1  .

Ecuația prezentată anterior se obține astfel:

Pornind de la ecuația inițială A- X  B se va înmulții și în partea stângă și în partea dreaptă cu

- 1 A , astfel obținem: A xAxX A xB - 1 - 1  . Așa cum se cunoaște n A xA  I - 1 , astfel rezultă ecuația

noastră X A xB - 1  .

b. Regula lui Cramar

Un sistem liniar de n ecuații cu n necunoscute se numeste sistem Cramer dacă determinantul

matricei asociate sistemului este diferit de zero. Deoarece matricea asociată sistemului este

nesingulară însemnă că sistemul este compatibil determinat. Pentru determinarea soluției se

procedează astfel:

1. Se calculează detA ( determinantul aferent matricei asociate sistemului)

2. Calculam determinanții

x j d , unde j=1,2,...,n. Acești determinanți se obțin astfel: în matricea A

(matricea asociată sistemului) se înlocuiește coloana j cu coloana termenilor liberi și se calculează

determinantul matricei obținute.