Sisteme Dinamice

CAPITOLUL I

SISTEME DINAMICE LINIARE

1.1 Reprezentarea in spatiul stãrilor

1.1.1 Sisteme dinamice liniare continue

Un sistem (dinamic) liniar continuu (SLC sau chiar SL când nu existã pericol

de confuzie) este o retea cu un numãr finit de receptori pentru intrare, care primesc

semnale externe si cu un numãr finit de terminale de iesire, cu ajutorul cãrora se pot

mãsura sau observa iesirile (rezultatele); reteaua insãsi constã dintr-un numãr finit de

componente primare interconectate unele cu altele, cu receptorii de intrare si cu

terminalele de iesire. Multimea consideratã pentru variabila timp este T = R

Reprezentarea de tip „cutie neagrã” a unui sistem liniar este prezentatã in

figura urmãtoare:

u1 (t) y1 (t)

Componente

u2 (t) y2 (t)

primare

um (t) yp (t)

variabile variabile

de intrare de iesire

Vom considera trei tipuri de componente primare:

1. Sumator (totalizator)

Un sumator are m intrãri u1(t ),K,um(t ) si o iesire y(t ) = u1(t )+K+um(t) ,

iar diagrama sa este ilustratã de fig. 1.2:

Fig. 1.2

Semnul minus poate fi marcat in dreptul unei intrãri indicpntru a scãdere în loc de

adunare:

Fig. 1.3

2. Multiplicator (amplificator)

Un multiplicator are o intrare u(t) si o iesire y(t).

Fig. 1.4

Functia a(t) cu care este inmultitã intrarea u(t) pentru a obtine iesirea y(t) se

nueste ponderea multiplicatorului. Dacã a(t)=a (constantã) pentru toate

multiplicatoarele sistemului, acesta se numeste sistem stationar sau invariant in timp.

Mutiplicatoarele cu ponderea a = −1 sunt “inversoare de semn” – ele doar schimbã

semnele variabilelor de intrare respective.

3. Integrator

Un integrator este tot o componentã primarã cu o singurã intrare si o singurã

iesire (SISO), a cãrei diagramã este reprezentatã în fig. 1.5:

u(t) a(t) y(t) = a(t)u(t)

u1 (t)

u2 (t)

Fig. 1.5

Relatia între functiile de intrare si de iesire este datã de:

Aceastã relatie este echivalentã cu y&(t) = u(t) , deci un model mai usor de

folosit este:

Fig. 1.6

Iesirea integratorului i al unui SL, notatã xi (t), se numeste variabilã de stare.

Dacã un SL contine n integratoare (notate 1, n) vectorul

poartã numele de vectorul de stare (starea) sistemului.(la

momentul t), iar n se numeste dimensiunea sistemului.