Teoria probabilităților

cuvinte cheie: experien , eveniment, evenimente elementare, câmp de

evenimente

Teoria probabilit ilor studiaz legile dup care evolueaz fenomenele

aleatoare.

Def. 1.1. Prin experien

în teoria probabilit ilor se în elege orice act care

poate fi repetat în condi ii date.

Def. 12. Toate situa iile legate de experien i despre care putem spune, cu

certitudine, c s-au produs sau nu, dup efectuarea experien ei, poart numele de

eveniment.

Fiec rei experien e i se ata eaz dou evenimente cu caracter special:

evenimentul sigur i imposibil.

Def. 1.3. Evenimentul sigur (notat ) este un eveniment care se realizeaz cu

certitudine la fiecare efectuare a experien ei.

Def. 1.4. Evenimentul imposibil ( ) este evenimentul care nu se produce

niciodat la repetarea experien ei.

Def.1. 5. Întotdeauna unui eveniment îi corespunde un eveniment contrar, a

c rui producere înseamn , prin defini ie, realizarea primului.

Evenimentul contrar lui A se noteaz cu A , CA, AC.

Sunt adev rate rela iile: A A , , .

Def. 1.6. Evenimente A i B se numesc compatibile dac se pot produce

simultan, adic dac sunt rezultate care favorizeaz atât pe A, cât i pe B.

Def. 1.7. Evenimentele A i C se numesc incompatibile dac nu se pot produce

simultan, adic dac nu se pot produce simultan, adic dac nu exist rezultate care

favorizeaz atât pe A cât i pe C.

Def. 1.8. Vom spune c evenimentul A implic evenimentul B sau c

evenimentul B este implicat de evenimentul A, dac B se produce ori de câte ori de

produce A.

Orice eveniment implic evenimentul sigur: A

, A.

Def. 1.9. Fiind date dou evenimente A i B, numim reuniunea lor i o not m

cu A

B, evenimentul a c rui producere const din producerea a cel pu in unuia din

cele dou evenimente sau A sau B.

Def. 1.10. Intersec ia evenimentelor A i B, notat cu A

B, const din

producerea simultan a evenimentelor A, B.

Def. 1.11. Un eveniment A

(mul imea evenimentelor asociate unui

experiment) este compus dac exist dou evenimente B, C

, B

A, C

A astfel

încât A = B

C. În caz contrar evenimentul se nume te elementar. Not m

evenimentele elementare cu w1, w2, ..., wn, iar în acest caz = {w1, w2, ..., wn} i

( ) (mul imea p r ilor ).

Def. 1.12. Mul imea evenimentelor asociate unui experiment se nume te câmp

de evenimente al experimentului respectiv.

2 2. Probabilitate pe un câmp finit de evenimente

cuvinte cheie: probabilitate, câmp de probabilitate, probabilitate

condi ionat ,

Def. 2.1. Se nume te probabilitatea evenimentului A, A

, raportul dintre

num rul cazurilor favorabile realiz rii evenimentului A:m i num rul cazurilor

totale:n. Deci

n

m

P A .

A adar generalizând în cazul unui câmp finit de evenimente ( , ) o

probabilitate pe acest câmp va fi definit astfel:

Def. 2.2. Se nume te probabilitate pe

o aplica ie P :

R care satisface

axiomele:

(1) P(A) 0 ( ) A

(2) P( ) = 1

(3) P(A1 A2) = P(A1) + P(A2) ( )A1, A2

cu A1 A2 = .

Proprietatea (3) se extinde la orice num r finit de evenimente incompatibile

dou câte dou .

Deci, dac Ai Aj = i j, i, j 1,n

n

i 1

i

n

i 1

i P A P A

Def. 2.3. Numim câmp de probabilitate finit, un câmp finit de evenimente ( ,

) înzestrat cu o probabilitate P, notat ( , , P).

Propriet i:

P1) ( )A

, P(AC) = 1 P(A)

P2) P( ) = 0

P3) ( )A

avem 0 P(A) 1

P4) ( )A1, A2

A1 A2 atunci P(A1) P(A2)

P5) ( )A1, A2

avem P(A1 A2) = P(A1) + P(A2) P(A1 A2)

P6) P(A1 A2) P(A1) + P(A2) ( )A1, A2

Def. 2.4. Evenimentele A, B ale câmpului de probabilitate ( , , P) sunt

independente dac :

P(A B) = P(A) P(B)

Def. 2.5. Fie ( , , P) un câmp de probabilitate, A,B

, P(B) 0

Numim probabilitate a evenimentului A condi ionat de evenimentul

B(probabiliitatea sa reealizeze evenimentulA în ipoteza c evenimentul B a avut loc)

raportul /

P A B

notatP A B

P B

Not m i P A/ B P (A) B

Obs.

1) Analog putem defini , P(A) 0

P A

P A B

P A/ B

2) În cazul în care evenimentele A i B sunt independente avem:

PB(A) = P(A) sau analog PA(B) = P(B).

3. s fie albe.