Vectori și valori proprii

Curs
10/10 (2 voturi)
Domeniu: Matematică
Conține 1 fișier: docx
Pagini : 10 în total
Cuvinte : 1791
Mărime: 45.99KB (arhivat)
Cost: Gratis
Profesor îndrumător / Prezentat Profesorului: Grosu Corina

Extras din document

Fie V un K - spațiu vectorial n-dimensional și A ∈ TK (V) un operator liniar.

Definitie :

Un vector x ∈ V , x ≠ 0 se numește vector propriu al operatorului A dacă există λ ∈ K astfel încât A (x) = λ x.

Scalarul λ ∈ K se numește valoarea proprie a lui A corespunzătoare vectorului propriu x. Mulțimea valorilor proprii ale operatorului liniar A se numește spectrul operatorului A și se notează cu σ (A).

Propozitie : Mulțimea tuturor vectorilor proprii, corespunzători valorii proprii λ, la care se adaugă vectorul nul 0V este un subspațiu vectorial al lui V, notat Vλ . Acest subspațiu se numește subspațiul propriu corespunzător valorii proprii λ.

Demonstrație :

Observăm că A(0V) = λ0V.

Deci Vλ = {x ∈ V, A(x) = λx }.

Fie x, y ∈ Vλ și α ∈ K. Vom arăta că x + y, αx ∈Vλ.

Într-adevăr, folosind proprietățile operatorului liniar A, avem A(x + y) = A(x) + A(y) = λx + λy = λ(x + y) și x + y ∈Vλ .

Analog, A(αx) = α(λx) = (αλ)x = (λα)x = λ (αx). Deci αx ∈ Vλ.

Propoziție : Vectorii proprii ce corespund la valori proprii distincte sunt liniar independenți.

Demonstrație :

Demonstrăm prin inducție după n, n ∈ N * că vectorii proprii x1, x2, ..., xn, corespunzători valorilor proprii distincte λ1, λ2, ..., λn sunt liniar independenți.

Dacă n = 1 și x1 ≠ 0, atunci mulțimea {x1} este în mod evident liniar independentă.

Presupunând proprietatea adevărată pentru n-1 vectori proprii, vom arăta că aceasta este adevărată și pentru n.

Dacă

α1x1 + α2x2 + ... + αnxn = 0 (1)

este o combinație liniară nulă formată cu vectorii proprii x1, x2, ..., xn, atunci, folosind proprietățile operatorului liniar A,

obținem succesiv A(α1x1 + α2x2 + ... + αnxn) = 0V, α1 A(x1) + α2 A(x2) + ... + αn A(xn) = 0 și α1λ1x1 + α2λ2x2 + ...+ αnλnxn = 0.

Înmulțind relația (1) cu -λn și adunând-o cu relația de mai sus,

obținem α1(λ1 - λn)x1 + ... + αn-1(λn-1 - λn)xn-1 = 0.

Deoarece λi ≠ λj pentru toți i ≠ j, i, j ∈ {1,..,n} și x1, x2, ..., xn-1 sunt liniar independenți, conform ipotezei de inducție, rezultă că

α1 = α2 = ... = αn - 1 = 0.

Folosind din nou relația (1), deducem că și αn = 0. Deci x1, x2, ..., xn sunt liniar independenți.

Observatie :

Din propoziția de mai sus rezultă imediat că subspațiile proprii Vλ1 , Vλ2 corespunzătoare valorilor proprii distincte λ1 ≠ λ2 au în comun numai vectorul nul.

Propoziție :

Dacă λ1, λ2, ..., λk sunt valori proprii distincte ale operatorului A ∈ LK(V) atunci suma Vλ1 + Vλ2 +... + Vλk este directă.

Demonstrație:

Fie x ∈ Vλ 1 + Vλ2 +... + Vλk . Pentru ca suma să fie directă, trebuie să arătăm că x se scrie în mod unic ca o sumă de vectori din Vλi , i = 1 , .. , k . Presupunem prin absurd că x admite două astfel de scrieri diferite. Deci există xi , yi ∈ Vλi , i=1 , .. , k și o submulțime nevidă I ⊆ { 1, , k} astfel încât

x = ∑_(i=1)^k▒x_i = ∑_(i=1)^k▒y_i si x_i ≠ y_i pentru i ∈ I , x_i = y_i i ∈ {1, , k} I .

De aici deducem că ∑_(i=1)^k▒( x_i-y_i) = 0v ⇔

∑_ieI▒〖(x_i-y_i)〗 = 0v (2)

Observăm că pentru fiecare i ∈ I, xi - yi este valoare proprie a lui i Vλ .

Aplicând Propoziția (1), deducem că { xi - yi , i ∈ I } este sistem liniar independent, ceea ce contrazice relația (2). Deci scrierea lui x ca o sumă de vectori din i Vλ , i = 1, .., k este unică și, în consecință, suma subspațiilor este directă.

Preview document

Vectori și valori proprii - Pagina 1
Vectori și valori proprii - Pagina 2
Vectori și valori proprii - Pagina 3
Vectori și valori proprii - Pagina 4
Vectori și valori proprii - Pagina 5
Vectori și valori proprii - Pagina 6
Vectori și valori proprii - Pagina 7
Vectori și valori proprii - Pagina 8
Vectori și valori proprii - Pagina 9
Vectori și valori proprii - Pagina 10

Conținut arhivă zip

  • Vectori si valori proprii.docx

Alții au mai descărcat și

Geometrie Computațională

1. Complemente de geometrie si metode de aproximare 1.1. Spatii vectoriale. Spatii afine. Fie N - multimea numerelor naturale, Z - multimea...

Matematici Speciale

Laboratorul 1 1. Sum: aceasta functie calculeaza suma elementelor unei matrici. Pentru a defini o matrice, tastaţi la linia de comanda in Command...

Matematica Financiara

OBIECTUL MATEMATICILOR FINANCIARE (INTRODUCERE) Direct sau indirect, imediat sau dupa un anumit timp, eforturile si efectele unei activitati...

Matematica pentru economisti. Probabilitate

Câmp de evenimente. Probabilitate 1. Câmp de evenimente Teoria probabilitatilor studiaza legile dupa care evolueaza fenomenele aleatoare. Vom...

Elemente de Teoria Erorilor

Numere aproximative. Erori a) Sursele si clasificarea erorilor. În rezolvarea numerica a unei probleme deosebim - în general - trei feluri de...

Camp de Evenimente. Camp de Probabilitate

7.3. Conceptul de probabilitate Pentru masurarea sanselor de realizare a unui eveniment aleator s-a introdus notiunea de probabilitate. Sunt...

Te-ar putea interesa și

Vectori Proprii și Valori Proprii

INTRODUCERE Termenul de matrice a fost introdus de matematicianul englez James Joseph Sylvester(1814-1897) în lucrarea “On New Class of Theorems”...

Analiza Datelor - Proiect SAS

Introducere In cele ce urmeaza am realizat o canaliza a ofertei de autoturisme a unui dealer. Scopul final este acela de a stabili care sunt...

Ridicarea la Putere a Unei Matrici de Ordinul N

1. Forma diagonală Deoarece matricea oricărui endomorfism A : Vn → Vn depinde de alegerea bazei în Vn, prezintă interes cazul când se poate găsi...

Inginerie Seismica

1.Hipocentrul:locul unde se produce ruptura tectonica.Epicentrul=locul de intresectie al razei care trece prin focar(hipocentru) si scoarta...

Geometrie Afina

Chapter 1 Spat¸ii vectoriale 1.1 Spat¸ii vectoriale peste un corp K Fie K un corp comutativ (poate fi corpul numerelor complexe C, cel al...

Algebra

Spa¸tiul vectorilor liberi Calculul vectorial este o crea¸tie matematic¼a, care î¸si a‡¼a originea în …zic¼a (mecani- c¼a). În acest capitol...

Ecuatii Diferentiale

Capitolul 1 Ecuatii diferentiale an univ 2001/2002 Teoria ecuatiilor si a sistemelor diferentiale reprezinta unul din domeniile fundamentale...

Matematici Economice

CAPITOLUL 1. ALGEBRA LINEARA 1.1. Metoda Gauss-Jordan pentru rezolvarea sistemelor de ecuatii algebrice lineare Metoda lui Gauss (metoda...

Ai nevoie de altceva?