Vectori și valori proprii

Fie V un K - spațiu vectorial n-dimensional și A ∈ TK (V) un operator liniar.

Definitie :

Un vector x ∈ V , x ≠ 0 se numește vector propriu al operatorului A dacă există λ ∈ K astfel încât A (x) = λ x.

Scalarul λ ∈ K se numește valoarea proprie a lui A corespunzătoare vectorului propriu x. Mulțimea valorilor proprii ale operatorului liniar A se numește spectrul operatorului A și se notează cu σ (A).

Propozitie : Mulțimea tuturor vectorilor proprii, corespunzători valorii proprii λ, la care se adaugă vectorul nul 0V este un subspațiu vectorial al lui V, notat Vλ . Acest subspațiu se numește subspațiul propriu corespunzător valorii proprii λ.

Demonstrație :

Observăm că A(0V) = λ0V.

Deci Vλ = {x ∈ V, A(x) = λx }.

Fie x, y ∈ Vλ și α ∈ K. Vom arăta că x + y, αx ∈Vλ.

Într-adevăr, folosind proprietățile operatorului liniar A, avem A(x + y) = A(x) + A(y) = λx + λy = λ(x + y) și x + y ∈Vλ .

Analog, A(αx) = α(λx) = (αλ)x = (λα)x = λ (αx). Deci αx ∈ Vλ.

Propoziție : Vectorii proprii ce corespund la valori proprii distincte sunt liniar independenți.

Demonstrație :

Demonstrăm prin inducție după n, n ∈ N * că vectorii proprii x1, x2, ..., xn, corespunzători valorilor proprii distincte λ1, λ2, ..., λn sunt liniar independenți.

Dacă n = 1 și x1 ≠ 0, atunci mulțimea {x1} este în mod evident liniar independentă.

Presupunând proprietatea adevărată pentru n-1 vectori proprii, vom arăta că aceasta este adevărată și pentru n.

Dacă

α1x1 + α2x2 + ... + αnxn = 0 (1)

este o combinație liniară nulă formată cu vectorii proprii x1, x2, ..., xn, atunci, folosind proprietățile operatorului liniar A,

obținem succesiv A(α1x1 + α2x2 + ... + αnxn) = 0V, α1 A(x1) + α2 A(x2) + ... + αn A(xn) = 0 și α1λ1x1 + α2λ2x2 + ...+ αnλnxn = 0.

Înmulțind relația (1) cu -λn și adunând-o cu relația de mai sus,

obținem α1(λ1 - λn)x1 + ... + αn-1(λn-1 - λn)xn-1 = 0.

Deoarece λi ≠ λj pentru toți i ≠ j, i, j ∈ {1,..,n} și x1, x2, ..., xn-1 sunt liniar independenți, conform ipotezei de inducție, rezultă că

α1 = α2 = ... = αn - 1 = 0.

Folosind din nou relația (1), deducem că și αn = 0. Deci x1, x2, ..., xn sunt liniar independenți.

Observatie :

Din propoziția de mai sus rezultă imediat că subspațiile proprii Vλ1 , Vλ2 corespunzătoare valorilor proprii distincte λ1 ≠ λ2 au în comun numai vectorul nul.

Propoziție :

Dacă λ1, λ2, ..., λk sunt valori proprii distincte ale operatorului A ∈ LK(V) atunci suma Vλ1 + Vλ2 +... + Vλk este directă.

Demonstrație:

Fie x ∈ Vλ 1 + Vλ2 +... + Vλk . Pentru ca suma să fie directă, trebuie să arătăm că x se scrie în mod unic ca o sumă de vectori din Vλi , i = 1 , .. , k . Presupunem prin absurd că x admite două astfel de scrieri diferite. Deci există xi , yi ∈ Vλi , i=1 , .. , k și o submulțime nevidă I ⊆ { 1, , k} astfel încât

x = ∑_(i=1)^k▒x_i = ∑_(i=1)^k▒y_i si x_i ≠ y_i pentru i ∈ I , x_i = y_i i ∈ {1, , k} I .

De aici deducem că ∑_(i=1)^k▒( x_i-y_i) = 0v ⇔

∑_ieI▒〖(x_i-y_i)〗 = 0v (2)

Observăm că pentru fiecare i ∈ I, xi - yi este valoare proprie a lui i Vλ .

Aplicând Propoziția (1), deducem că { xi - yi , i ∈ I } este sistem liniar independent, ceea ce contrazice relația (2). Deci scrierea lui x ca o sumă de vectori din i Vλ , i = 1, .., k este unică și, în consecință, suma subspațiilor este directă.