Extras din curs
R[a,b].
4. Monotonia integralei Riemann. Dac˘a f (x) ≤ g (x), (∀) x ∈ [a, b]
¸si f, g ∈ R[a,b], atunci
R b
a f (x) dx ≤
R b
a g (x) dx.
5. Dac˘a f ∈ R[a,b], atunci |f (x)| ∈ R[a,b] ¸si
¯¯¯
R b
a f (x) dx
¯¯¯
≤
R b
a |f (x)| dx.
6. Prima teorem˘a de medie. Dac˘a f ∈ R[a,b], atunci
m (b − a) ≤
R b
a f (x) dx ≤ M (b − a),
unde m = inf {f (x) | x ∈ [a, b]}, M = sup{f (x) | x ∈ [a, b]} .
Dac˘a f ∈ C[a,b], atunci exist˘a cel pu¸tin un punct c ∈ [a, b] astfel încât
R b
a f (x) dx = (b − a) f (c) .
7. A doua teorem˘a de medie. Dac˘a f ∈ R[a,b] ¸si g ∈ F[a,b] este
monoton˘a , atunci exist˘a c ∈ [a, b] astfel încât
R b
a f (x) g (x) dx = g (a)
R c
a f (x) dx + g (b)
R b
c f (x) dx.
8. Aditivitatea în raport cu intervalul. Dac˘a f ∈ R[a,b] ¸si c ∈ (a, b),
atunci f ∈ R[a,c], f ∈ R[c,b] ¸si
R b
a f (x) dx =
R c
a f (x) dx +
R b
c f (x) dx.
9. Teorema lui Barrow. Dac˘a f ∈ C[a,b], atunci func¸tia
F : [a, b] → R, F (x) =
R x
a f (t) dt,
este derivabil˘a ¸si F 0 (x) = f (x), (∀) x ∈ [a, b].
10. Integrarea prin p˘ar¸ti. Dac˘a u, v ∈ C1
[a,b], atunci
R b
a u (x) v0 (x) dx = u (x) v (x)|b
a −
R b
a u0 (x) v (x) dx.
11. Prima formul˘a de schimbare de variabil˘a. Dac˘a f ∈ C[a,b] ¸si
u : [c, d] → [a, b] este de clas˘a C1 pe [c, d] , atunci
R d
c f (u (x)) u0 (x) dx =
R u(d)
u(c) f (t) dt.
1.1. OBSERVA ¸ TII ASUPRA INTEGRALEI RIEMANN 3
12. A doua formul˘a de schimbare de variabil˘a. Dac˘a f ∈ C[a,b] ¸si
ϕ : [c, d] → [a, b] este de clas˘a C1 pe [c, d] ¸si strict monoton˘a pe [c, d] , atunci
R ϕ(d)
ϕ(c) f (x) dx =
R d
c f (ϕ (t)) ϕ0 (t) dt,
unde ϕ (c) = a, ϕ (d) = b.
Defini¸tia 1. Omul¸time A ⊂ R se nume¸ste de m˘asur˘a Lebesgue nul˘a
(sau neglijabil˘a în sens Lebesgue) ¸si not˘am acasta prin m(A) = 0, dac˘a
(∀) ε ∈ (0, ∞) (∃) {[an, bn]}n∈N∗ , , astfel încât:
a)
P
n
(bn − an) =conv. ¸si ∞P
n=1
(bn − an) ≤ ε, b) A ⊂
S
n∈N∗
[an, bn] .
Defini¸tia 2. Spunem c˘a o propozi¸tie P (a) , care depinde de a ∈ A,
este adev˘arat˘a aproape peste tot (a.p.t.) în A, dac˘a mul¸timea punctelor
unde ea nu este adev˘arat˘a, B = {a/P (a) nu este adev˘arat˘a}, are m˘asura
Lebesgue nul˘a, m(B) = 0.
Teorema 1. (Propriet˘a¸tile mul¸timilor de m˘asur˘a nul˘a)
1) m(∅) = 0,
2) A = {a} ⇒ m(A) = 0,
3) m(A) = m(B) = 0 ⇒ m(A ∩ B) = 0 ¸si m(A ∪ B) = 0,
4) m(Ak) = 0, k ∈ N∗, ⇒ m
Ã
[
k∈N∗
Ak
!
= 0 ¸si m
Ã
k∈N∗
Ak
!
= 0,
5) m(A) = 0 ⇒ m(a + A) = 0, (∀) a ∈ R,
6) Dac˘a A este finit˘a sau num˘arabil˘a atunci m(A) = 0,
7) Dac˘a A ⊂ B ¸si m(B) = 0 atunci m(A) = 0.
Demonstra¸tie. 1) Evident˘a.
2) Pentru (∀) ε ∈ (0, ∞) , (∃) [an, bn], n ∈ N∗, definit prin
an =
½
a − ε
2 , pentru n = 1
0 pentru n > 1
, bn =
½
a + ε
2 , pentru n = 1
0 pentru n > 1
astfel încât
A = {a} ⊂
S
n∈N∗ [an, bn] = [a1, b1] =
£
a − ε
2 , a + ε
2
¤
,
∞P
n=1
(bn − an) = b1 − a1 = a + ε
2 − a + ε
2 ≤ ε,
Preview document
Conținut arhivă zip
- Analiza Matematica
- BIBLIOGRAFIE.pdf
- cap 1.pdf
- cap 2.pdf
- cap 3.pdf
- cap 4.pdf
- cap 5.pdf
Alții au mai descărcat și
1. Introducere. Definirea Maşinilor Unelte. M.U. se defineşte ca fiind o maşină de lucru având ca scop formarea pieselor, pe procese bazate pe...
Definitie Sudarea este procedeul tehnologic de asamblare nedemontabila a metalelor si aliajelor,prin topire locala,cu sau fara,metal de adaos....
Sa se elaboreze tehnologia optima de fabricatie pentru reperul&. &, desen nr&&.apartinând utilajului tehnologic&&&&.. Sunt necesare&&&buc. A....
Rezistenţa materialelor se analizează fiecare ER sau subansamblu numai în situaţia de echilibru sub acţiunea forţelor exterioare, aşa că valoarea...
1. Notiuni generale Fierul este unul din cele mai raspândite metale, fiind folosit pe scara larga în numeroase domenii ale tehnicii. Fierul este...
Spre deosebire de Rezistenţa materialelor, Teoria elasticităţii are ca obiect determinarea stării de tensiune şi deformaţie într-un corp cu...
Te-ar putea interesa și
INTRODUCERE Societatea în care trăim s-a dezvoltat cu paşi uriaşi în ultimul secol. Aceşti paşi progresivi care au evoluat toate împrejurările cu...
Introducere Noțiunea de limită este indispensabilă în definirea și studiul conceptelor de bază ale analizei matematice: continuitatea,...
Tema de Proiect Sa se dimensioneze tehnologic un reactor de fabricare a PVC prin procedeul de polimerizare in suspensie. Date initiale...
INTRODUCERE În analiza matematică, integrala unei funcții este o generalizare a noțiunilor de arie, masă, volum și sumă. Procesul de determinare a...
TEMA 1. CONCEPTE DE BAZĂ UTILIZATE ÎN ANALIZA STATISTICĂ Deciziile de zi cu zi se realizează, de cele mai multe ori, pe baza unor informaţii...
I. INTRODUCERE I.1. Prezentare generală a MathCad-ului Produsul software sau sistemul de programare MathCad este un instrument destinat...
Curs 1 Relatii. Corpul numerelor reale 1 Relatii Notiunea matematica de relatie are un grad mare de generalitate. Definirea si dezvoltarea...
INTRODUCERE Matematica se foloseşte în economie de la începutul secolului al XIX-lea. Matematica a adus rigurozitate şi precizie în analiza...