Mecanică

1.1 Dinamica punctului material liber

Problemele generale ale dinamicii punctului material liber pot fi analizate folosind principiul al doilea al mecanicii, scris sub forma:

(1.1)

unde m este masa punctului material (constantă în timpul mișcării), accelerația sa iar rezultanta forțelor ce acționează asupra punctului. În general, forța este o funcție de vectorul de poziție , viteza și timpul t, adică:

(1.2)

Observând că , ecuația fundamentală (1.1) se scrie ca:

(1.3)

i) Problema directă : se cunosc forțele ce acționează asupra punctului material și se cere mișcarea sa.

Pentru studiul mișcării se integrează ecuația vectorială (1.3). În rezolvarea problemelor concrete de mecanică, ecuația (1.3) se proiectează pe axele unui sistem de coordonate convenabil ales. Avem astfel:

Sistemul de coordonate carteziene:

, , (1.4)

Sistemul de coordonate Frenet:

(1.5)

Sistemul de coordonate polare:

, (1.6)

Ecuația fundamentală (1.3) poate fi proiectată și pe axele altor sisteme de referință (sferice, cilindrice, generalizate etc.). Diferitele forme ale ecuației diferențiale astfel obținute reprezintă un sistem de trei ecuații diferențiale de ordinul al doilea având ca necunoscute trei funcții scalare de timpul t (în cazul coordonatelor carteziene acestea sunt x(t), y(t) și z(t)). Considerând că sistemul poate fi integrat soluțiile obținute vor depinde de timpul t și de șase constante de integrare.

Vom folosi în cele de urmează cel mai utilizat sistem de coordonate și anume cel de coordonate carteziene. Soluția sistemului (1.4), numită soluție generală, este de forma:

,

, (1.7)

.

În aplicații prezintă interes acea soluție, numită soluție particulară, care satisface condițiile inițiale ale mișcării, referitoare la poziția și viteza punctului la momentul inițial:

(1.8)

Impunând condițiile (1.8), din (1.7) rezultă:

(1.9)

Cele șase ecuații (1.9) constituie un sistem de ecuații algebrice în necunoscutele . Rezolvând acest sistem obținem valorile constantelor de integrare în funcție de datele inițiale ale mișcării:

, (1.10)

Înlocuind (1.10) în (1.7) obținem soluția particulară:

,

, (1.11)

.

Setul de relații (1.11) corespunde ecuațiilor parametrice ale mișcării (vezi capitolul “Cinematica mișcării punctului material”).

ii) Problema inversă: Se cunoaște mișcarea punctului și se cer forțele care-l acționează.

Cunoscând vectorul se obțin funcțiile vectoriale și . Ecuația (1.3) permite determinarea rezultantei în mod unic, însă această expresie nu ne dă nici o indicație asupra naturii fizice a rezultantei (există o infinitate de sisteme de forțe care au aceiași rezultantă).

1.2 Dinamica mișcării absolute a punctului material cu legături

În studiul mișcării unui punct material legat se procedează ca în statică, mai precis se aplică axioma legăturilor înlocuind fiecare legătură cu reacțiunea corespunzătoare ei și se tratează problema ca și când punctul material ar fi liber. Notând cu rezultanta forțelor de legătură și cu rezultanra forțelor direct aplicate, ecuația de mișcare a punctului material supus la legături este:

(1.12)

Prin proiectarea acestei ecuații pe axele unui sistem de referință convenabil ales se obține un sistem de ecuații diferențiale de ordin doi la care necunoscutele se referă la mișcare și la forțele de legătură. Pentru determinarea mișcării se determină variația în timp a unui parametru de poziție (pentru punct pe curbă) sau a doi parametri de poziție (pentru punct pe suprafață). Determinarea reacțiunilor se face în general prin proiectarea ecuației (1.12) pe direcția normală sau tangentă la curba sau la suprafața de reazem.