Mecanica fluidelor

Noţiuni de presiune hidraulică. Ecuaţii diferenţiale ale repausului fluidelor şi integrarea lor. Suprafeţe izobare.

Un fluid în repaus poate fi caracterizat, din punct de vedere al mecanicii, prin starea sa de tensiune, care reprezintă starea de solicitare interioară produsă de interacţiunea particulelor. Se consideră un domeniu ce cuprinde o masă de fluid în repaus şi se urmăreşte stabilirea stării de solicitare interioară într-un punct oarecare M.

Se secţionează masa fluidă din domeniu cu un plan care trece prin punctul M. Dacă se înlătură o parte din domeniu pentru că fluidul să treacă în echilibru se introduc în secţiune forţele de legătură prin rezultanta lor P.

Se consideră in jurul punctului M o suprafaţă elementară ∆A căruia corespunde o forţă de legătură ∆P.

Forţa ∆P este proporţională cu mărimea şi forma suprafeţei ∆A, arbitrar aleasă.

Pentru a înlătura influenţa celor două elemente (mărime şi formă) se presupune pentru definirea stării de tensiune efortul unitar p.

Dacă ∆A tinde spre 0 atunci se numeşte presiune hidrostatică într-un punct al lichidului.

Efortul unitar este o mărime caracterizată de următoarele proprietăţi:

1. Este perpendicular pe suprafaţa pe care acţionează . Demonstraţia se face prin reducerea la absurd. Se consideră că efortul nu este perpendicular pe suprafaţa elementară . În acest fel efortul unitar p au o componenţă perpendiculară p/ şi o componenţă cuprinsă în planul secţiunii.

Existenţa unei componenţe tangenţei ar pune în mişcare fluidul, fapt care contrazice ipoteza repausului deci efortul unitar p poate fi numai perpendicular pe suprafaţa pe care acţionează.

2.Este un efort de compresie. Pentru demonstraţie se presupune că p este un efort de întindere. În acest caz, particula fluidă ar fi dislocată ceea ce contrazice ipoteza repausului.

3.Întru-un punct oarecare M, p au aceeaşi valoare după orice direcţie.

Se ataşează punctului M o particulă fluidă de forma unei presiune triunghiulare. Prisma se află în echilibru cînd sistemul de forţe ce acţionează asupra acestuia formează un triunghi închis.

Triunghiul forţelor este asemenea cu triunghiul ABC.

Din legea asemănării celor 2 triunghiuri rezultă relaţia:

Dacă considerăm prisma de lungime şi raportăm această relaţie la lungime rezultă:

Dacă AB, BC, CA şi tind către zero atunci ţinînd seama de relaţia

; rezultă,

Din egalitate rezultă proprietatea efortului presiunii hidrostatice de a fi constantă ca valoare după orice direcţie în punctul M considerat.

Presiunea hidrostatică este o mărime scalară care exprimă starea de tensiune deci gradul de comprimare al fluidului în punctul considerat. Ecuaţii diferenţiale ale repausului fluidelor (Euler) şi integrarea lor.

Dacă din masa fluidului se separă o particulă elementară de formă paralelipipedică, avînd dimensiunile după cele 3 axe de coordonate dx, dy, dz, ea se află în echilibru dacă rezultanta forţelor masice şi de suprafaţa care acţionează asupra ei este nulă. Dacă notăm forţele masice unitare cu X, Y, Z componenţele forţei masice care acţionează asupra particulei de fluid considerate sînt:

dfx =Xdm =X dv =X dxdy dz

dfy = Ydm = Y dv = Y dxdy dz

dfz =Zdm = Z dv = Z dxdy dz

dm- masa particulei fluide

- densitatea fluidului considerat.