Mecanica fluidelor

I. NOTIUNI DE CALCUL SI ANALIZA VECTORIALA

Prezentul capitol îşi propune o succintă prezentare a principalelor noţiuni de calcul şi

analiză vectorială, curent utilizate în descrierea mişcării fluidelor.

1.1. Notiuni introductive

Marimi scalare: sunt mărimile fizice care pot fi caracterizate printr-un număr real. Exemplu:

timpul, temperatura, lungimea unui segment, masa, energia etc.

Vectorul: este caracterizat prin direcţie, sens şi modul. Modulul vectorilor este reprezentat

prin lungimea segmentului. Exemple: forţa, viteza, translaţia.

- vectori echipolenţi : doi vectori care au aceiaşi direcţie, sens şi modul;

- vector liber: vectorul care reprezintă mulţimea tuturor vectorilor echipolenţi;

- vectori legaţi: vectori a căror origine nu poate fi schimbată fără a înceta de a mai

reprezenta o aceiaşi mărime fizică.

1.2. Algebra vectoriala

1.2.1. Adunarea si scaderea vectorilor

- suma (rezultanta) a doi vectori: R a b

  

Suma este cumulativeă şi asociativă.

Compunerea se face după regula paralelogramului.

Fig.1.1. Adunarea a doi vectori.

- scaderea este operatiunea inverse a adunarii. D a b

  

este

vectorul care adunat cu b



da vectorul a



Fig.1.2. Scaderea a doi vectori

Daca a b

 

, diferenta este vectorul nul, notat 0 

, al carui modul este zero si avand o

directie nedeterminata.

1.2.2. Inmultirea unui vector cu un scalar

Produsul unui vector a



cu un scalar este tot un vector, care se noteaza a



sau a



avand sensul lui a



cand > 0 si sensul opus cand < 0.

a

R

b

MECANICA FLUIDELOR NOTIUNI DE CALCUL SI ANALIZA VECTORIALA

Dr.ing Petru Aron

7

1.2.3. Impărţirea unui vector cu un scalar

Impartirea se reduce la inmultirea cu

1

. Daca vectorul a



se imparte la modulul sau se

obtine un vector cu modulul egal cu unitatea, avand directia si sensul lui a



. Acest vector

a

a



se

numeste versorul lui a



.

1.2.4. Produsul vectorilor.

Produsul dintre doi vectori poate fi definit in mai multe moduri, astfel:

- produsul scalar a doi vectori a



si b



se noteaza cu ab

 

. Rezultatul este un scalar.

ab abcos

 

unde este unghiul dintre cei doi vectori.

Daca cei doi vectori sunt colineari , produsul lor scalar se reduce la ab, dupa cum cei

doi vectori au acelasi sens sau sensuri opuse.

Produsul scalar este comutativ, distributiv fata de adunare a b c ab ac

     

( ) , iar inmultirea cu

un scalar se poate reduce la inmultirea unuia dintre vectori cu acel scalar.

(ab) ( a)b a( b)

     

- produsul vectorial a doi vectori a



si b



se noteaza a b

 

reprezinta aria orientata a

paralelogramului format de cei doi vectori (v.fig. 1.3)

Fig.1.3. Produsul vectorial a doi vectori.

Produsul vectorial se reprezinta printr-un vector cu urmatoarele insusiri:

- este perpendicular pe planul determinat de a



si b



;

- este dirijat in sensul pozitiv fata de sensul indicat de a



pentru parcurgerea conturului

paralelogramului determinat de a



si b



;

- modulul sau. a b absin

 

este aria paralelogramului construit pe a



si b



ca

laturi.

Produsul vectorial este anticomutativ b a (a b)

   

, deoarece a



si b



indica

parcurgerea conturului in sensuri opuse. Proprietatile produsului vectorial sunt:

Inmultirea unui produs vectorial cu un scalar se poate face astfel:

(a b) ( a) b a ( b)

     

Produsul vectorial este distributiv fata de adunare.

a b c a b a c

      

( )

Modulul produsului vectorial este mai mic sau cel mult egal cu produsul modulelor:

a b absin ab