Metoda elementului finit

1. METODA ELEMENTELOR FINITE - ASPECTE MATEMATICE.

PROBLEME UNIDIMENSIONALE. PROBLEME

MULTIDIMENSIONALE

1.1 Principiul metodei elementelor finite. Etape de rezolvare a unei probleme cu

ajutorul metodei elementelor finite.

CE ESTE METODA ELEMENTELOR FINITE ? - este o metodă matematică de

integrare numerică a ecuaţiilor cu derivate parţiale puse sub formă variaţională. Adică, toate

problemele de calcul ale structurilor elastice se vor reduce la un sistem de ecuaţii cu derivate parţiale,

care, frecvent nu se poate rezolva analitic. Metoda elementului finit trebuie privit ca un instrument

de lucru generalizat în domeniul ingineriei. Trebuie remarcat faptul că metoda elementului finit are o

largă aplicabilitate în studiul calitativ al algoritmilor de calcul numeric. Prin algoritm de calcul se

înţelege un sistem de reguli care aplicat la o anumită clasă de probleme de acelaşi tip conduce la

obţinerea soluţiei problemei pornind de la condiţiile iniţiale ale clasei din care face parte cu ajutorul

unor operaţii succesive, unic determinate. Rezultă concluzia că un algoritm trebuie să aibă un

caracter de generalitate, de finitudine şi unicitate.

Metoda elementelor finite a apărut ca o necesitate de a studia starea de tensiune şi deformaţie

pentru structuri de rezistenţă de mare complexitate geometrică pentru care calculul se face mai uşor

în cazul în care întregul se împarte în domenii mai simple. Datorită caracterului de generalitate al

acestei metode, ea s-a extins cu rapiditate aproape în toate domeniile calcului ingineresc care au la

bază metodele fizico matematice de calcul. Deşi numele metodei elementului finit a fost introdus

recent, conceptul a fost utilizat acum câteva secole în urmă. De exemplu matematicienii din

antichitate au aflat circumferinţa cercului aproximându-l ca pe un poligon.

Aplicarea metodei elementelor finite sub forma actuală îşi are începuturile în fundamentarea

următoarelor metode şi teorii cu aplicaţii deosebite în inginerie:

• reziduurilor ponderate (Gauss 1795, Galerkin 1915, Biezeno-Koch 1923);

• metode variaţionale (Rayleigh 1870, Ritz 1909);

• diferenţe finite (Richardson 1910, Liebman 1918, Southwell 1940);

• diferenţe finite variaţionale (Varga 1962);

• testarea continuităţii funcţiilor pe subdomenii (Courant 1947, Prager - Synger 1947);

• rezoluţia prin anologie structurală (Hreikoff 1941 McHenry1943, Mewark 1949);

• Discretizarea în elemente finite a mediilor continue (Argyris 1959, Turner Clough, Martin şi

Topp 1956);

• Introducerea noţiunii de element finit (Clough 1960).

Se poate spune că metoda elementului finit aşa cum se cunoaşte ea astăzi a fost prezentată în

1956 de către Turner, Clough, Martin şi Topp, într-o lucrare în care se prezintă aplicarea elementelor

finite simple (bare cu articulaţii şi placă triunghiulară cu sarcini aplicate în plan) pentru analiza

structurii aparatelor de zbor, fiind considerată una din contribuţiile cheie în dezvoltarea metodei

elementului finit. Noţiunea de element finit a apărut pentru prima dată în lucrarea lui R.W.Clough în

anul 1960, intitulată “Elementul finit în analiza stărilor plane de tensiune”. Zienkiewicz şi Cheung au

dat o interpretarea largă metodei elementului finit şi practic semnalează aplicabilitatea ei la orice

problemă inginerească. Cu această interpretare generală a metodei elementului finit, s-a constat că de

fapt şi ecuaţiile metodei elementului finit pot fi de asemenea obţinute folosind metoda reziduurilor

ponderate cum este de exemplu metoda Galerkin sau abordarea prin metoda celor mai mici pătrate.

Toate acestea au condus la un interes larg răspândit printre specialişti în matematica aplicată în

aplicare a metodei elementului finit pentru rezolvarea problemelor liniare şi neliniare. De-a lungul

anilor au fost publicate diferite lucrări la conferinţe şi cărţi referitoare la această metodă.

Calculatoarele numerice au asigurat mijloace rapide de efectuare a unui volum mare de

calcule implicate în analiza cu elemente finite şi a făcut practic ca metoda să fie aplicabilă. Se poate

spune că metoda elementelor finite fără utilizarea calculatoarelor numerice de mare capacitate nu ar

fi o metodă viabilă. O dată cu dezvoltarea calculatoarelor digitale de mare viteză, aplicarea metodei

elementului finit a progresat cu o viteză impresionat de mare.

Utilizarea calculatorului în rezolvarea unei probleme presupune parcurgerea următoarelor

etape:

a. Enunţarea problemei şi formularea datelor de intrare.

b. Elaborarea modelului de calcul care pornind de la un ansamblu coerent de ipoteze

stabileşte o schemă de calcul care descrie atât cantitativ cât şi calitativ fenomenul.

c. Alegerea celei mai potrivite metode numerice de calcul, pornind de la elaborarea

algoritmului. Câteva din criteriile care stau la baza alegerii metodei numerice de calcul: simplitatea,

precizia, viteza de calcul.

d. Elaborarea schemei logice pentru descrierea algoritmului metodei numerice. Schema

logică reprezintă de fapt o prezentare grafică a algoritmului de calcul, prin punerea în evidenţă a

succesiunii etapelor principale de calcul precum şi deciziile logice necesare obţinerii soluţiei.

e. Elaborarea programului de calcul. În această etapă algoritmul de calcul pus în evidenţă de

schema logică se transcrie într-un limbaj de programare.

f. Verificarea corectitudinii rezultatelor se face de obicei aplicând metoda numerică elaborată

pentru probleme simple a căror soluţie analitică (considerată exactă) este cunoscută.

g. Prelucrarea datelor şi interpretarea rezultatelor pentru problema studiată.

Metoda elementelor finite (analiza cu elemente finite) se bazează pe conceptul construirii

obiectelor complicate din obiecte mai simple, sau altfel spus divizarea obiectelor complicate în

obiecte mai simple pentru care se pot aplica scheme de calcul cunoscute. În multe situaţii aparatajul

matematic existent nu este suficient pentru găsirea soluţiei exacte (iar uneori chiar a unei soluţii

aproximative) pentru majoritatea problemelor practice. Ideea de bază în metoda elementului finit

este de a găsi soluţia unei probleme complicate înlocuind-o printr-una mai simplă.