Modelarea Sistemelor Mecanice

OBIECTUL METODEI ELEMEMNTELOR FINITE

ÎN ANALIZA STRUCTURILOR MECANICE

Calculul ingineresc, ca instrument ştiinţific pentru proiectarea, realizarea şi verificarea sistemelor tehnice, s-a dezvoltat şi consolidat în mod sistematic dea lungul timpului pe baza experimentelor efectuate pe modele reale sau machete de laborator în scopul verificării calculului analitic şi a confirmării ipotezelor şi modelelor de calcul folosite. Limitele experimentelor pe modele s-au restrâns odată cu creşterea complexităţii sistemelor tehnice şi a imposibilităţii realizării la scară de laborator a modelelor fizice corespunzătoare unor sisteme şi procese industriale.

În ultimul timp s-a dezvoltat în inginerie o nouă gândire de natură analitică, având la bază modelarea matematică şi determinarea numerică a soluţiilor ecuaţiilor diferenţiale ce caracterizează aceste fenomene şi a condiţiilor care se impun la frontiera domeniului, respectiv a condiţiilor iniţiale, în cazul problemelor care depind de timp.

Soluţia analitică a unor aplicaţii concrete din inginerie, se determină pentru un model analitic aproximativ creat prin introducerea unor ipoteze simplificatoare de calcul (aceste ipoteze simplifică într-un mod rezonabil comportarea modelului real) şi exprimă exact comportarea modelului analitic ales să caracterizeze fenomenul studiat.

În Rezistenţa materialelor se utilizează modele de calcul aproximative datorită introducerii următoarelor ipoteze simplificatoare de calcul (unele din acestea se mai numesc şi ipoteze de bază în Rezistenţa materialelor):

1. ipoteza mediului continuu , omogen şi izotrop;

2. ipoteza deformaţiilor mici în raport cu dimensiunile corpului;

3. ipoteza secţiunii plane a unei bare supusă la încovoiere (BERNOULLI) şi ipoteza liniei drepte perpendiculare la suprafaţa mediană a plăcii supusă la încovoiere (KIRKHHOFF);

4. ipoteze privind ponderile relative ale tensiunilor care apar într-un corp supus acţiunii unor sarcini exterioare (exemplu: tensiunile tangenţiale produse de eforturile tăietoare într-o bară se neglijează în raport cu tensiunile normale produse de eforturile de întindere sau de încovoiere);

5. ipoteze privind legea de distribuţie a tensiunilor într-o secţiune oarecare a unei bare: distribuţia uniformă a tensiunilor normale pe suprafaţa transversală în cazul eforturilor axiale, distribuţia liniară a tensiunilor la încovoierea pură (NAVIER), distribuţia liniară a tensiunilor tangenţiale la răsucirea unei bare de secţiune circulară, distribuţia uniformă a tensiunilor tangenţiale într-o secţiune longitudinală (JURAVSKI) etc.;

6. ipoteza privind relaţia liniară dintre tensiuni şi deformaţii (legea lui HOOKE), sau a unei relaţii liniare de o anumită formă în cazul solicitărilor din domeniul elasto-plastic şi principiul suprapunerii efectelor sau principiul independenţei acţiunii forţelor;

7. ipoteza lui SAINT VENANT privind efectul sarcinilor (concentrate sau distribuite) într-o zonă îndepărtată de zona de acţiune a acestora;

8. ipoteze privind legăturile ideale care se folosesc pentru modelarea legăturilor reale. Exemplu: ipoteza legăturilor ideal-rigide, ideal-elastice sau semirigide etc. Aceste ipoteze se regăsesc în condiţiile pe frontieră a modelului real (sub forma blocajelor sau deplasărilor impuse, pe anumite porţiuni ale frontierei);

9. ipoteze privind tipurile de sarcini aplicate structurilor: forţe şi cupluri concentrate, forţe şi cupluri distribuite (uniform, liniar, parabolic, hiperbolic etc.) pe o suprafaţă sau pe o direcţie. Aceste ipoteze se regăsesc în condiţiile de încărcare a modelului real.

Pentru fenomenul elastic studiat şi pentru modelul de calcul analitic creat pe baza ipotezelor simplificatoare de mai sus, se scriu ecuaţiile diferenţiale care îl caracterizează, se pun condiţiile la limită corespunzătoare (constrângerile sau blocajele impuse de legăturile cu mediul fix sau cu celelalte elemente cu care se învecinează) şi condiţiile de încărcare. În cazul problemelor depinzând de timp se adaugă celor de mai sus condiţiile iniţiale.

Necesitatea rezolvării unor probleme complexe a condus la o sinteză neaşteptată între soluţia analitică pe un model aproximativ şi experimentele pe modele reale, rezultatul fiind analiza numerică. Spre deosebire de soluţia analitică pentru un model analitic aproximativ, soluţia numerică aproximează evoluţia unui proces fizic pornind de la un model analitic exact modelat şi analizat cu ajutorul unor programe specializate. Modelul analitic exact se mai întâlneşte în literatura de specialitate şi sub denumirea de model virtual.

Modelul virtual poate fi creat în spaţiul virtual 2D sau 3D al calculatorului cu ajutorul unui program de modelare. Acesta poate fi analizat din punct de vedere al comportării lui sub acţiunea sarcinilor exterioare, pentru anumite condiţii la limită şi iniţiale, cu ajutorul unui program special care utilizează diferite metode numerice de analiză şi rezolvare a ecuaţiilor. În final sunt furnizate soluţiile numerice aproximative. Programul are posibilitatea de optimizare a soluţiilor prin la obţinerea unei precizii satisfăcătoare din punctul de vedere al utilizatorului prin: schimbarea condiţiilor de încărcare, a condiţiilor la limită (acolo unde este cazul, a condiţiilor iniţiale), a modului de aplicare a lor asupra modelului virtual, etc.

Analiza numerică permite deci studiul unor fenomene prin variaţia condiţiilor de testare în condiţii economice deosebit de avantajoase (mai ales pentru acele fenomene ce nu pot fi reproduse în laborator, cum ar fi: transferul de căldură din zona activă a unui reactor nuclear, simularea unor condiţii de avarie sau explozii etc.). Condiţii de analiză numerică nu necesită decât costuri de proiectare, tehnică de calcul şi softuri specializate de analiză numerică.

Analiza numerică în ingineria modernă, s-a dezvoltat în trei direcţii principale datorită următoarelor metode de analiză:

- Metoda diferenţelor finite

- Metoda elementelor finite

- Metoda elementelor de frontieră

1. Metoda diferenţelor finite a apărut încă din timpul lui Euler şi utilizează un model matematic diferenţial al fenomenului studiat, model care este apoi adaptat pentru rezolvarea cu ajutorul procedeului de aproximare locală punctiformă a variabilelor de câmp, precum şi a derivatelor lor până la un anumit ordin. Acest procedeu de aproximare locală se realizează cu ajutorul unei reţele rectangulare creată pe domeniul studiat. Sistemul de ecuaţii diferenţiale cu derivate parţiale se transformă astfel într-un sistem de ecuaţii algebrice, având ca necunoscute valorile variabilei de câmp într-un număr finit de puncte ale domeniului studiat, numite noduri ale reţelei de diferenţe finite. Această metodă a fost folosită cu succes în rezolvarea unor probleme, însă datorită dificultăţilor legate de utilizarea reţelei rectangulare de discretizare pentru domenii complexe, nu mai este utilizată în prezent.

2. Metoda elementelor finite utilizează un model matematic integral al fenomenului studiat, care se obţine cu ajutorul metodelor variaţionale sau a metodei reziduurilor ponderate. Spre deosebire de metoda diferenţelor finite, această metodă se bazează pe aproximarea locală a variabilei de câmp pe subdomenii (porţiuni) ale domeniului studiat (numite elemente finite). Metodele matematice folosite transformă expresia diferenţială a problemei (ecuaţiile diferenţiale şi condiţiile la limita domeniului) într-o formă integrală numită forma variaţională sau ''forma moale'', care include o parte din condiţiile la limită ale problemei. De exemplu, teorema de staţionaritate a energiei potenţiale elastice în studiul stării de tensiuni şi deformaţii a unui corp elastic poate fi considerată o astfel de formă variaţională. Prin folosirea modelului integral precum şi a unor funcţii de aproximare continue pentru variabila de câmp, respectiv a unor funcţii de interpolare continue pentru geometria elementelor finite, pot fi discretizate practic domenii oricât de complexe.

3. Metoda elementelor de frontieră utilizează de asemenea un model matematic integral al fenomenului studiat. Această metodă a apărut ca o alternativă a metodei elementelor finite pentru soluţionarea unor probleme ce nu pot fi rezolvate cu ajutorul metodei elementelor finite, cum ar fi de exemplu: probleme cu gradienţi foarte mari pe frontiera domeniului, cu discontinuităţi şi concentratori de tensiuni, probleme cu domenii infinite, etc. Spre deosebire de metoda elementelor finite, pentru utilizarea acestei metode nu mai este necesară discretizarea întregului domeniu studiat, ci doar a frontierei sale.