Vibrații mecanice

1.1 Turaţia critică a unui arbore cu volant

Considerăm un disc (volant) de masă „m”, montat pe arborele orizontal, de masă neglijabilă, al unei maşini. Se presupune că discul este aşezat excentric pe arbore, cu o excentricitate „e”, egală cu distanţa notată CA în Fig.1.1, de la centrul de greutate C al discului la axa arborelui. Montarea cu excentricitate (neechilibrată) se datoreşte atât toleranţelor de fabricaţie cât şi neomogenităţii materialului din care este executat discul.

Dacă arborele maşinii se roteşte în jurul liniei lagărelor (axa arborelui în repaus) cu o viteză unghiulară constantă , el se va deforma sub acţiunea forţei centrifuge, datorită excentricităţii „e” a discului (Fig.1.1), iar deformaţia se produce într-un plan ce conţine şi centrul de greutate C al discului.

Vibraţiile de încovoiere ale discului au pulsaţia proprie , în care k reprezintă constanta elastică la încovoiere a arborelui în dreptul discului.

Fig.1.1

- Punctul O reprezintă intersecţia dintre axa centrelor lagărelor şi planul median al mişcării discului;

- Punctul A - intersecţia axei arborelui deformat având săgeata , cu planul mişcării;

- Punctul C - centrul de greutate al discului, situat la distanţa „e” de punctul A.

Cum încovoierea este mică, se poate considera că mişcarea discului este plană, perpendiculară pe linia lagărelor. În Fig.1.2 se prezintă o secţiune transversală prin planul median al sistemului oscilant.

În timpul rotirii arborelui, masa „m” a discului va genera forţa centrifugă (respectiv forţa de inerţie de transport) :

iar forţa elastică a arborelui are expresia :

Dacă mişcarea este staţionară şi se neglijează amortizarea, cele două forţe se echilibrează şi deci , relaţie din care se obţine săgeata arborelui în dreptul discului :

Fig.1.2

(1.1)

Din relaţia (1.1), reprezentată grafic în Fig. 1.3, rezultă următoarele :

• Pentru n săgeta arborelui devine infinită, apărând fenomenul de rezonanţă. În această situaţie viteza unghiulară n , egală cu pulsaţia proprie a vibraţiilor de încovoiere, se numeşte viteză unghiulară critică iar turaţia corespunzătoare acesteia, dată de formula :

(1.2)

se numeşte turaţia critică a arborelui.

Dacă arborele este proiectat să funcţioneze deasupra turaţiei critice, el trebuie să treacă prin această zonă periculoasă de fiecare dată când maşina este pornită sau oprită, amplitudinea vibraţiilor produse în această situaţie crescând proporţional cu timpul. De aceea, este necesar fie ca trecerea prin regiunea critică să se facă rapid, fie să se folosească un dispozitiv special pentru limitarea amplitudinii vibraţiilor la trecerea prin turaţia critică.

Fig.1.3

• Pentru ω1 < ωn rezultă săgeta δ > 0, astfel că, dacă rotaţia se face în jurul punctului notat O1 în Fig.1.3, centrul de greutate C al discului se va afla în prelungirea segmentului O1A.

• Pentru ω2 > ωn, săgeata δ < 0; dacă rotaţia se face în jurul punctului O2, centrul de greutate C se află între centrul lagărelor O2 şi centrul de greutate al discului, A.

• Pentru valori foarte mari ale turaţiei, când , punctul C se va apropia de linia reazemelor confundându-se cu punctul O, deci rotorul de autocentrează.

La rotirea cu viteza unghiulară =const., poziţia relativă a punctelor O, A şi C este fixă. Arborele se roteşte în jurul axei Oz, în stare deformată, astfel încât în orice secţiune eforturile unitare datorate încovoierii sunt variabile în timp. Deoarece mişcarea punctului A în jurul axei lagărelor de face cu aceeaşi viteză unghiulară  ca şi rotirea punctului C în jurul axei arborelui, mişcarea se numeşte precesie sincronă.

Din ecuaţia (1.1) se observă că săgeata arborelui şi, deci şi amplitudinea vibraţiilor, este proporţională cu excentricitatea „e” pentru orice viteză unghiulară. Aceasta înseamnă că pentru o funcţionare corespunzătoare, liniştită, este necesar ca excentricitatea să fie cât mai mică, adică centrul de greutate al discului să fie aşezat cât mai aproape de axa arborelui.

Operaţia prin care se realizează o excentricitate mai mică decât valorile admise, se numeşte echilibrare statică. Ea constă în adăugarea unei mase mici, de corecţie - notată mo - aproape de periferia discului, astfel încât centrul de greutate rezultat să fie situat pe axa arborelui (Fig.1.4).

Fig.1.4 Dacă excentricitatea „e” este cunoscută, atunci masa de corecţie, mo, rezultă din relaţia :

, conform figurii 1.4.

În general însă, excentricitatea „e” nu este cunoscută şi, în acest caz, masa de corecţie mo se poate determina astfel: arborele şi discul se aşează pe doi suporţi orizontali paraleli, prelucraţi astfel încât frecarea la rostogolire să fie neglijabilă. În aceste condiţii, când discul este în repaus, centrul său de greutate este situat într-un plan vertical meridian, sub axa arborelui. Apoi, pe verticala centrului de greutate, deasupra axului

arborelui, se adaugă o masă mică de corecţie şi se scoate discul din această poziţie, lăsându-se liber. Dacă discul mai are tendinţa de a se roti, se va pune o altă masă de corecţie, mai mare decât precedenta. Operaţia se continuă până când discul nu va mai avea tendinţa de rostogolire.