Controlul Statistic și Fiabilitate

NOTIUNI DE TEORIA PROBABILITATILOR

1.1. Definitii

- Evenimentul în teoria probabilitatilor se defineste ca rezultatul unui experiment.

- Evenimentul sigur (notat ) este evenimentul care se produce în mod sigur la

efectuarea unui experiment.

- Evenimentul imposibil (notat ¦) este evenimentul care nu se produce, în mod

obligatoriu la efectuarea unui experiment.

- Evenimentul aleator (întâmplator, notat E) este evenimentul care poate sa se

produca sau sa nu se produca la efectuarea unui experiment.

- Probabilitatea evenimentului A, adica P(A), este raportul dintre numarul m al

cazurilor favorabile si numarul total n al experimentelor (numarul de cazuri egal

posibile).

Exemplu: O urna contine 6 bile albe si 4 bile negre. Care este probabilitatea de a

extrage o bila alba ?. Raspuns: 0,6

1.2. Proprietati ale probabilitatii

a) Probabilitatea evenimentului sigur (m=n): P() =1;

b) Probabilitatea evenimentului imposibil (m=0): P(¦) = 0 ;

c) Probabilitatea evenimentului aleator 0 < P(E) <1.

1.3. Notiunea de frecventa relativa

Frecventa relativa este raportul dintre numarul ½ al probelor în care

evenimentul s-a produs si numarul total al probelor.

1.4. Teorema adunarii probabilitatilor evenimentelor incompatibile

Se numesc evenimente incompatibile doua sau mai multe evenimente la care

producerea unuia din ele exclude producerea celorlalte (exemplu: la aruncarea unui

zar obtinerea fetei 2 si obtinerea fetei 5 sunt evenimente incompatibile).

Reuniunea a doua evenimente A si B, notata AU B reprezinta evenimentul care

consta în producerea a cel putin unul din evenimentele A sau B., deci fie a

evenimentului A, fie a evenimentului B, fie a ambelor evenimente A si B.

Reuniunea evenimentelor A, B si C, notata AU B UC reprezinta evenimentul

care consta în producerea evenimentelor A, B, C, AU B, AUC ,C U B , AU B UC (sau

a evenimentelor A, B, C, A si B, B si C, C si A, A si B si C.

Teorema Probabilitatea producerii unuia din evenimentele incompatibile A si B

2

este :

(1.1)

Demonstratie

Notam cu n numarul de cazuri egal posibile ale experimentului în urma caruia

se pot produce evenimentele A sau B, cu m1 numarul cazurilor favorabile producerii

evenimentului A, cu m2 numarul cazurilor favorabile producerii evenimentului B.

Rezulta ca numarul rezultatelor favorabile aparitiei unuia din evenimentele A sau B

este m1+ m2 (evenimentele A si B sunt incompatibile). Rezulta

Pentru trei evenimente incompatibile:

P(AU B UC) = P[(AU B)UC]= P(AU B)+ P(C) = P(A)+ P(B)+ P(C) (1.3)

- Generalizând relatia (1.3) pentru n evenimente se obtine urmatoarea teorema:

probabilitatea producerii unuia din mai multe evenimente incompatibile este egala cu

suma probabilitatilor acestor evenimente.

Exemplu:

Trei urne contin 32 bile (10 albe, 7 negre, 10 verzi). Care este probabilitatea de

a extrage o bila colorata ?

1.5. Teorema adunarii probabilitatilor evenimentelor incompatibile

Teorema Probabilitatea producerii unuia din evenimentele compatibile A si B este :

P(AU B) = P(A)+ P(B) P(AIB) (1.5)

Demonstratie

Daca evenimentele A si B nu sunt incompatibile probabilitatea evenimentelor comune

P(AIB) se ia în considerare de doua ori [o data la P(A) si o data la P(B)], deci

P(AIB) trebuie scazuta.

1.6. Evenimente contrare

Doua evenimente sunt contrare daca îndeplinesc urmatoarele conditii: