Elemente de Teoria Probabilităților

Curs
8.3/10 (3 voturi)
Domeniu: Probabilități
Conține 3 fișiere: doc
Pagini : 43 în total
Cuvinte : 10734
Mărime: 434.02KB (arhivat)
Cost: Gratis

Extras din document

1. Conceptele: experiment şi eveniment

În teoria probabilităţilor un loc central îl ocupă conceptul de eveniment; în acest context prin eveniment înţelegem orice rezultat al unui experiment. Efectuarea unui experiment presupune realizarea unui complex de condiţii şi tocmai această realizare o vom înţelege atunci când ne vom exprima pe scurt spunând “se face un experiment”.

Distingem: - evenimentul sigur (cert) care este evenimentul ce se produce în mod obligatoriu, la efectuarea unui anumit experiment;

- evenimentul imposibil care este evenimentul ce în mod obligatoriu nu se produce la efectuarea unui anumit experiment;

- evenimentul întâmplător (aleator) care este evenimentul ce poate să se producă sau nu la efectuarea unui anumit experiment, dependent de acţiunea mai multor factori întâmplători.

Două sau mai multe evenimente spunem că sunt incompatibile dacă producerea unuia dintre ele exclude producerea celorlalte într-o aceeaşi probă.

1.1. Exemple de evenimente

(i) Presupunem că într-o urnă se găsesc a bile albe şi b bile negre. Fie A evenimentul care constă în extragerea unei bile albe şi B evenimentul care constă în extragerea unei bile negre după ce a fost extrasă o bilă (care nu se reintroduce în urnă înaintea celei de-a doua extrageri). Dacă prima bilă extrasă a fost albă, adică s-a produs evenimentul A, atunci în urnă au rămas b bile negre şi probabilitatea evenimentului B va fi b/(a+b-1); dacă prima bilă extrasă a fost neagră, adică s-a realizat evenimentul B, atunci în urnă au rămas b-1 bile negre şi probabilitatea evenimentului B va fi (b-1)/(a+b-1). Este evident faptul că probabilitatea lui B depinde de faptul că evenimentul A s-a produs sau nu.

(ii) La aruncarea unei monede există posibilitatea apariţiei feţei-1 (evenimentul A) sau a feţei-2 (evenimentul B). Probabilitatea apariţiei unei feţe la o aruncare nu depinde de ceea ce s-a realizat la aruncarea precedentă.

(iii) Considerăm o urnă în care se găsesc a bile albe şi b bile negre. Fie A evenimentul care constă în extragerea unei bile albe şi B evenimentul care constă în extragerea unei bile negre. După extragere presupunem că bila se reintroduce în urnă. În aceste condiţii probabilitatea de realizare a unui eveniment (A sau B) într-o anumită extragere nu depinde de realizarea evenimentului (B sau A) la extragerea precedentă.

(iv) Deseori se spune că o anumită maşină care produce un anumit tip de repere dă un număr de procente rebut, aşadar prin producerea unui reper se realizează evenimentul A care constă în obţinerea unui reper bun sau evenimentul B care constă în producerea unui rebut. Despre nici un reper în parte nu putem spune cu certitudine că este bun sau defect, dar dacă se controlează un număr mare de repere produse pe maşina respectivă se constată procentul de rebuturi menţionat.

Definiţia 1. Două evenimente se numesc independente dacă probabilitatea de realizare a unuia dintre ele nu depinde de faptul că celălalt eveniment s-a produs sau nu. În caz contrar evenimentele se numesc dependente.

Observaţie. În exemplul (i) evenimentele A şi B sunt dependente, iar în exemplele (ii), (iii) sunt independente.

1.2. Structura de algebră booleană a mulţimii evenimentelor

În mulţimea tuturor evenimentelor  se pot introduce trei operaţii corespunzătoare operaţiilor logice “sau”, “şi”, “non”;

- evenimentul “A sau B “, notat A B, este evenimentul care se produce dacă şi numai dacă cel puţin unul dintre evenimentele A, B se produce şi-l vom numi reuniunea evenimentelor A şi B;

- evenimentul “A şi B”, notat AB, este evenimentul care se produce dacă şi numai dacă ambele evenimente A şi B se produc şi-l vom numi intersecţia evenimentelor A şi B;

- evenimentul “non A”, notat CA, este evenimentul care se produce dacă şi numai dacă A nu se produce; acesta va fi numit evenimentul contrar lui A.

Teorema 1. Mulţimea evenimentelor (, , , C), înzestrată cu operaţiile , , C formează o structură algebră booleană.

Evenimentul  = A CA este numit evenimentul cert (sigur), iar evenimentul

= A CA este numit evenimentul imposibil.

În limbajul evenimentelor, relaţia de incluziune A B exprimă faptul că atunci când se produce evenimentul A, se produce în mod necesar şi evenimentul B.

Dacă A B şi B A atunci A=B, caz în care evenimentele A şi B sunt echivalente.

Dacă A B = , în limbajul evenimentelor, spunem că evenimentele A şi B sunt incompatibile.

Este posibil ca mulţimea evenimentelor să fie considerată şi tratată ca o algebră booleană sau, ca un corp de părţi.

1.3. Corp de evenimente (părţi, mulţimi)

Definiţia 2. O mulţime nevidă K() se numeşte corp de evenimente (mulţimi), sau corp de părţi (pe scurt corp) dacă:

(K1). oricare ar fi A K CA K;

(K2). oricare ar fi A,B K A B K.

Teorema 2. Fie K( ) un corp de părţi; atunci au loc proprietăţile:

(K3). K; K;

(K4). dacă (Ai) K K;

(K5). dacă A,B K AB K;

(K6). dacă A,B K A B K; (A B=(AB) (BA) reprezintă diferenţa simetrică a mulţimilor A şi B).

Demonstraţie. K ( ), A K.

Preview document

Elemente de Teoria Probabilităților - Pagina 1
Elemente de Teoria Probabilităților - Pagina 2
Elemente de Teoria Probabilităților - Pagina 3
Elemente de Teoria Probabilităților - Pagina 4
Elemente de Teoria Probabilităților - Pagina 5
Elemente de Teoria Probabilităților - Pagina 6
Elemente de Teoria Probabilităților - Pagina 7
Elemente de Teoria Probabilităților - Pagina 8
Elemente de Teoria Probabilităților - Pagina 9
Elemente de Teoria Probabilităților - Pagina 10
Elemente de Teoria Probabilităților - Pagina 11
Elemente de Teoria Probabilităților - Pagina 12
Elemente de Teoria Probabilităților - Pagina 13
Elemente de Teoria Probabilităților - Pagina 14
Elemente de Teoria Probabilităților - Pagina 15
Elemente de Teoria Probabilităților - Pagina 16
Elemente de Teoria Probabilităților - Pagina 17
Elemente de Teoria Probabilităților - Pagina 18
Elemente de Teoria Probabilităților - Pagina 19
Elemente de Teoria Probabilităților - Pagina 20
Elemente de Teoria Probabilităților - Pagina 21
Elemente de Teoria Probabilităților - Pagina 22
Elemente de Teoria Probabilităților - Pagina 23
Elemente de Teoria Probabilităților - Pagina 24
Elemente de Teoria Probabilităților - Pagina 25
Elemente de Teoria Probabilităților - Pagina 26
Elemente de Teoria Probabilităților - Pagina 27
Elemente de Teoria Probabilităților - Pagina 28
Elemente de Teoria Probabilităților - Pagina 29
Elemente de Teoria Probabilităților - Pagina 30
Elemente de Teoria Probabilităților - Pagina 31
Elemente de Teoria Probabilităților - Pagina 32
Elemente de Teoria Probabilităților - Pagina 33
Elemente de Teoria Probabilităților - Pagina 34
Elemente de Teoria Probabilităților - Pagina 35
Elemente de Teoria Probabilităților - Pagina 36
Elemente de Teoria Probabilităților - Pagina 37
Elemente de Teoria Probabilităților - Pagina 38
Elemente de Teoria Probabilităților - Pagina 39
Elemente de Teoria Probabilităților - Pagina 40
Elemente de Teoria Probabilităților - Pagina 41
Elemente de Teoria Probabilităților - Pagina 42
Elemente de Teoria Probabilităților - Pagina 43

Conținut arhivă zip

  • Elemente de Teoria Probabilitatilor
    • capIV_1.doc
    • capIV_2.doc
    • capIV_3.doc

Alții au mai descărcat și

Probabilitati

1.Legea normala 1dimensionala: x-v.a. cu fct de rep F(x)=> [a,b,)=(-µ,b](µ,a) => P(XÎ[A,B))=P(X<B)-P(X<a) f densitatea lui x =>...

Teoria Probabilitatilor

1.1. Evenimente Definitie 1.1.1. Realizarea practica a unui ansamblu de conditii bine precizat poarta numele de experienta sau proba. Definitie...

Controlul Statistic și Fiabilitate

NOTIUNI DE TEORIA PROBABILITATILOR 1.1. Definitii - Evenimentul în teoria probabilitatilor se defineste ca rezultatul unui experiment. -...

Breviar Teoria Probabilitatilor,Cantitatea de Informatie,Canale Discrete de Comunicatie

1. BREVIAR TEORIA PROBABILITATILOR Se considera spatiul experimentului, notat S, ca fiind multimea tuturor rezultatelor (outcomes) posibile ale...

Probabilitati

Elemente de Teoria Probabilitatilor 1.1 Spatiu de probabilitate Pentru a defini conceptul de spatiu de probabilitate, vom considera un...

Probabilitati si Statistica in Inginerie

În cursul activităţii sale practice omul se loveşte la fiecare pas de fenomene aleatoare. Exemplul cel mai simplu de fenomene aleatoare este dat de...

Elemente ale Teoriei Proceselor Stocastice

Tema 1. Elemente ale teoriei proceselor stocastice 1. Generalităţi. 2. Definiţia unui proces stocastic. 3. Proprietăţi de comportament al unui...

Probabilități

Obiectivele capitolului După parcurgerea acestui capitol, studentul va fi capabil să definească probabilitatea, variabila aleatoare discretă şi...

Ai nevoie de altceva?