Probabilități

Elemente de Teoria

Probabilitatilor

1.1 Spatiu de probabilitate

Pentru a defini conceptul de spatiu de probabilitate, vom considera un experiment,

al carui rezultat nu se poate preciza cu siguranta inaintea efectuarii lui,

dar pentru care multtimea tuturor rezultatelor posibile este cunoscuta.

Numim eveniment elementar oricare din rezultatele efectuarii experimentului

considerat. Spre exemplu, in cazul aruncarii unui zar, aparitia fetei cu

numarul 5 este un eveniment elementar.

Vom nota prin Ω multimea tuturor evenimentelor elementare (multimea tuturor

rezultatelor posibile ale experimentului considerat).

Numim eveniment o submultime de a lui Ω (un eveniment este deci o multime

de evenimente elementare).

In general, vom nota evenimentele cu majuscule (spre exemplu A, B, C, . . .)

iar evenimentele elementare cu minuscule (spre exemplu ω, ω1, ω2, . . .) sau prin

alte simboluri (spre exemplu prin 1, 2, . . . , 6 în cazul aruncarii unui zar).

Distingem doua evenimente importante:

— evenimentul sigur (notat Ω): este evenimentul ce apare la fiecare efectuare

a experimentului;

— evenimentul imposibil (notat ): este evenimentul ce nu apare la nici o

efectuare a experimentului.

Exemplul 1.1.1 La aruncarea unui zar (considerând Ω = {1, 2, . . . , 6}) putem

considera ca evenimente:

— A : aparitia fetei 3 (adica A = {3})

— B : aparitia unui numar par (adica A = {2, 4, 6})

— C : aparitia unui numar mai mare sau egal cu 3 (adica C = {3, 4, 5, 6})

Exemplul 1.1.2 La aruncarea unui ban (considerând Ω = {B, S}) putem considera

ca evenimente:

4

— A1 : aparitia banului (adica A1 = {B})

— A2 : aparitia stemei (adica A1 = {S})

Dat fiind un spatiu Ω de evenimente elementare, pentru doua evenimente

A, B Ω introducem urmatoarele definitii:

Spunem ca evenimentele A si B sunt incompatibile daca ele nu pot apare

simultan la nici o efectuare a experimentului;

Spunem ca evenimentul A este continut in evenimentul B si notam A B,

daca realizarea evenimentului A atrage dupa sine realizarea evenimentului

B;

Definim reuniunea evenimentelor A si B, notata prin A B, ca fiind evenimentul

ce consta in realizarea lui A sau realizarea lui B;

Definim intersectia evenimentelor A si B, notata prin A ∩ B, ca fiind evenimentul

ce consta in realizarea simultana a evenimentelor A si B;

Definim evenimentul contrar evenimentului A, notat prin Ac, ca fiind evenimentul

ce consta în nerealizarea evenimentului A;

Definim diferenta evenimentelor A si B (in aceasta ordine), notata prin A −B,

ca fiin evenimentul ce consta in realizarea lui A si nerealizarea lui B.

Spunem ca evenimentele A1, A2, . . . , An Ω formeaza un sistem complet de

evenimente daca sunt doua câte doua incompatibile si reuniunea lor este

întreg spatiul de evenimente Ω, adica daca au loc:

i) A1 A2 . . . An = Ω

ii) Ai ∩ Aj = , oricare ar fi 1 ≤ i, j ≤ n

Observatia 1.1.3 Pentru a defini probabilitatea asociata unui eveniment A,

o posibilitate ar fi sa repetam experimentul de un numar n ≥ 1 de ori, si sa

determinam numarul ( frecventa) fn(A) de aparitii a evenimentului A in cele n

repetari ale experimentului.