Statistica Economica

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Spatii vectoriale izomorfe

Fie (X,K) si (Y,K) doua spatii vectoriale peste acelasi corp de sclari K.

DEFINITA 1.5.1.

Spatiile vectoriale X si Y se numesc K izomorfe, daca exista Æ : X’ Y cu proprietatile urmatoare:

1) Æ este bijectiva

2) oricare ar fi x1 si x2 doi vectori din spatiul X si oricare ar fi ±1 si ±2 scalari din corpul K, atunci :

Æ ( ±1 x1 + ±2 x2 ) = ±1 Æ ( x1 ) + ±2 Æ ( x2 ) .

Functia Æ cu proprietatea 2) se numeste aplicatie sau functie liniara.

TEOREMA 1.5.1.

Daca X si Y sunt doua spatii vectoriale definite pe acelasi corp de scalari K, dimensiunea celor doua spatii fiind n finit, atunci X si Y sunt K-izomorfe.

Aceasta este teorema de izomorfism a spatiilor vectoriale finit dimensionale.

DEMONSTRATIE:

Fie E = { e1 , e2 , … , en } o baza în spatiul X .

Fie G = { g1 , g2 , … , gn } o baza în spatiul Y.

Oricare ar fi vectorul x din spatiul X, putem scrie:

x = ±1 e1 + ±2 e2 + …+ ±n en

Defininim functia Æ : X ’ Y, Æ ( x ) = y adica

....

Pentru a arata ca Æ este izomorfism, demonstram ca:

1) functia este bijectiva:

- injectivitate : oricare ar fi x1 si x2, x1 diferit de x2 , atunci :

Æ ( x1 ) este diferit de Æ ( x2 ) .

Fie x1 = ±1 e1 + ±2 e2 + … + ±k ek + … + ±n en .

Fie x2 = ²1 e1 + ²2 e2 + … + ²k ek + … + ²n en , unde ±i si ²i apartin corpului K, oricare ar fi indicele “i” din multimea { 1, … , k, ,… , n } .

Întrucât x1 este diferit de x2 , exista cel putin un indice “k” din multimea { 1, … , n } astfel încât ±k este diferit de ²k .

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