Statistică Multidimensională

6.1. Măsurarea variaţiei în serii bidimensionale

(bivariate)

Sistematizarea datelor după două variabile (pe variante sau pe

intervale de variaţie) aşa cum s-a mai arătat are ca rezultat obţinerea unei

serii bidimensionale (bivariate). Presupunem în acest sens că valorile

variabilei X au fost sistematizate pe „K” variante (sau intervale) şi s-au

urmărit în fiecare din cele „p” intervale (grupe) formate după o altă variabilă

Y.

Adoptăm următoarele notaţii:

Xij – valoarea xi a variabilei observate X înregistrată în grupa j (cu i=1,k şi

j =1,p );

nij – numărul de unităţi de observare la care s-a înregistrat valoarea xij;

ni nij - numărul de unităţi la care s-a observat valoarea xi indiferent ce

valoare a înregistrat variabila y;

n j nij - numărul de unităţi la care s-a observat valoarea yi indiferent ce

valoare a fost înregistrată pentru variabila x;

n ni n n - numărul de unităţi din populaţia statistică

la care s-au observat cele două variabile.

Variabilitatea valorilor xij (variaţia generală) este determinată de

factori esenţiali (de grupare) şi factori aleatori (reziduali) care acţionează în

mod specific în interiorul fiecărei grupe. Aceasta înseamnă că după natura

factorilor de influenţă variaţia generală (VG) este formată dintr-o variaţie

explicată de factorul de grupare (VE) şi o variaţie reziduală (VR),

determinată de factori aleatori care acţionează în mod specific în interiorul

fiecărei grupe:

xij − x = (xij − x j )+ (x j − x), (∀) i = 1,k; j = 1,p (5.51)

Unde: x = media generală;

xj = media grupei (clasei) j (j=1,p)

VG VR VE

Anexe 171

În ipoteza în care între factorul de grupare Yj (j=1,p) şi factorii

aleatori (reziduali) din interiorul fiecărei grupe j=1,p nu există dependenţă

statistică, luînd în considerare frecvenţele corespunzătoare, la nivelul

ansamblului, relaţia (5.51) poate fi transformată şi scrisă sub următoarea

formă:

ΣΣ(xij x) n ΣΣ(x x ) n Σ(x x) n

= = = = =

− = − + − (5.52)

Din (5.52) se obţine, deci, relaţia de descompunere a dispersiei

generale, într-o serie bivariată, pe componente:

x σ = σ + δ (5.53)

unde:

n..

(x x ) nij

= = - dispersia generala care sintetizeaza pe

ansamblu influenţa factorilor indiferent natura lor;

δ = - dispersia dintre grupe care sintetizeaza doar

influenţa factorului de grupare luat în considerare – exprimă variaţia

mediilor condiţionate.

= = = - media dispersiilor condiţionate (de

grupe) care sintetizeaza influenţa factorilor aleatori (reziduali) din interiorul

fiecărei grupe j =1,p .

2

σ j = dispersia grupei j ( j =1,p )

Relaţia (5.53) mai poate fi scrisa şi sub următoarea formă:

1 x => 1 = K + R

= (5.54)

unde: R [0;1] 2

= - (pătratul mraportului de corelaţie) se numeşte

coeficient de determinare.