Teoria probabilității

Introducere

Numeroase probleme practice din variate domenii de activitate, ca: ingineria electrica,

radio, transmisia de date, calculatoare, teoria informatiei, fiabilitatea sistemelor si altele,

conduc la studiul unor fenomene si procese aleatoare. Evaluarea sanselor lor de producere

constituie obiectul disciplinei teoria probabilitatilor.

Cursul de Teoria probabilitatilor are atat un caracter informativ, furnizand studentilor

notiuni si rezultate fundamentale cu care vor opera n cadrul specialitatilor lor, cat

si formativ, acomodandu-i cu rationamente matematice, dintre care unele vor fi necesare

prelucrarii pe calculator a datelor.

Cursul este alcatuit din cinci capitole.

Capitolul I, intitulat "Camp de probabilitate" introduce notiunea de camp de probabilitate,

cadru n care se defineste axiomatic notiunea de probabilitate. Sunt trecute

n revista formule si scheme clasice de probabilitate. Elementele de teorie sunt nsotite

de exemple, dintre care unele cu referire la situatii tehnice privind controlul de calitate,

transmiterea informatiei etc.

Cuprinde paragrafele: 1.Camp finit de evenimente; 2.Camp finit de probabilitate;

3. Metode de numarare; 4.Moduri de selectare a elementelor; 5.Definitia axiomatica a

probabilitatii; 6.Formule probabilistice; 7.Scheme clasice de probabilitate; 8.Camp infinit

de probabilitate.

Capitolul II, intitulat "Variabile aleatoare discrete"cuprinde paragrafele 1.Definitia

si clasificarea variabilelor aleatoare; 2.Variabile aleatoare discrete simple; 3.Exemple de

variabile aleatoare discrete simple; 4.Variabile aleatoare discrete simple bidimensionale;

5.Variabile aleatoare cu un numar infinit numarabil de valori.

Este scos n evidenta rolul distributiei Poisson, a evenimentelor rare n numeroase

aplicatii tehnice.

Capitolul III, intitulat "Variabile aleatoare continue", cuprinde paragrafele: 1.Funct

ia de repartitie a unei variabile aleatoare unidimnesionale; 2.Densitatea de probabilitate.

Repartitia normala;3.Functia de repartitie multidimensionala.Transformari; 4.Valori

caracteristice ale unei variabile aleatoare. 5.Functia caracteristica a unei variabile

aleatoare; 6.Variabile aleatoare continue clasice si legaturile dintre ele; 7.Fiabilitate.

Este scos n evidenta rolul legii lui Gauss n studiul erorilor accidentale de masurare.

Capitolul IV, intitulat "Probleme la limita n teoria probabilitatilor", cuprinde paragrafele:

1.Convergenta n probabilitate a sirurilor de variabile aleatoare; 2.Legea numerelor

mari (forma slaba); 3.Aproximari pentru distributii discrete; 4.Convergenta n

repartitie. Teorema limita centrala; 5.Legatura dintre convergenta functiilor de repartitie

si convergenta functiilor caracteristice; 6.Convergenta aproape sigura; 7.Convergenta n

medie.

Scopul acestui capitol este de a pune n evidenta justificari teoretice ale apropierii

dintre anumite concepte din teoria probabilitatlor si din statistica matematica si de

asemenea, legaturile dintre diferitele tipuri de convergenta n teoria probabilitatilor.

Capitolul V, intitulat "Procese stochastice", cuprinde paragrafele:1.Lanturi Markov;

2.Procese Markov contiue. Procese Poisson; 3.Procese stochastice stationare.

Pentru ntelegerea materialului din acest capitol, s-au dat numeroase exemple de

importanta practica din teoria asteptarii, teoria stocurilor si altele.

Capitolele I, II, IV au fost redactate de lector dr. Pletea Ariadna, iar Capitolele III si

V de lector dr. Popa Liliana, care au colaborat pentru a obtine o forma cat mai unitara

si moderna a cursului.

Adresam pe aceasta cale vii multumiri comisiei de analiza a cursului, formata din prof.

dr. Pavel Talpalaru, prof. dr. Stan Chirita si lector Gheorghe Florea pentru observatiile

constructive facute, cat si, anticipat, tuturor cititorilor, care vor contribui prin sugestii la

mbunatatirea prezentului material.

Autoarele

Capitolul 1

Camp de probabilitate

1.1 Camp finit de evenimente

In teoria probabilitatilor notiunile primare sunt: evenimentul si probabilitatea.

Teoria probabilitatilor studiaza experientele aleatoare, acele experiente care reproduse

de mai multe ori se desfasoara de fiecare data n mod diferit, rezultatul neputand fi

anticipat. Exemple de experiente aleatoare: aruncarea unui zar, tragerile la tinta, durata

de functionare a unei masini etc.

Rezultatele posibile ale unei experiente aleatoare se numesc probe sau cazuri posibile

ale expeientei.

Experientele se pot realiza printr-un numar finit sau un numar infinit de probe.

Multimea rezultatelor (cazurilor) posibile ale unei experiente aleatoare formeaza spatiu

de selectie.

Notam simbolic spatiul de selectie cu E.

Definitia 1.1.1 Se numeste eveniment o submultime a spatiului de selectie.

Orice element a lui E, notat e, este un punct de selectie sau un rezultat posibil al

experientei.

In cele ce urmeaza vom presupune E finit.

Exemplul 1.1.1 Consideram experienta care consta n aruncarea unui zar. Aceasta este

o experienta aleatoare. Multimea rezultatelor posibile ale experientei sunt 1, 2, 3, 4,

5, 6. Deci spatiul de selectie este E = f1; 2; 3; 4; 5; 6g. Presupunem ca ne intereseaza

evenimentul ca la o aruncare a zarului sa obtinem o fata cu un numar par de puncte.

Daca aruncand zarul am obtinut fata cu cinci puncte, aceasta este o proba a experientei

noastre, dar evenimentul care ne interesa (o fata cu un numar par de puncte) nu s-a

realizat. Daca proba experientei ar fi fata cu sase puncte, atunci evenimentul nostru s-a

realizat.

Exemplul dat este al unei experiente cu un numar finit de probe. Se pot da exemple si de

experiente cu o infinitate de probe. Astfel, experienta tragerii la tinta. Exista o infinitate

de probe care realizeaza evenimentul atingerii tintei.