Cercetări operaționale

Condiţiile în care se desfăşoară o anumită activitate economică analizată conduc la un sistem de relaţii - ecuaţii sau inecuaţii - care conţin varia-bilele problemei şi coeficienţii tehnologici care o caracterizează. Aceste relaţii reprezintă restricţiile problemei.

Scopul studiului este optimizarea unui anumit rezultat dependent de variabilele problemei. În formularea problemelor de programare matematică, obiectivul apare sub forma unei funcţii, denumită funcţie obiectiv (scop), ale cărei valori maxime sau minime sunt căutate.

Restricţiile problemei, împreună cu funcţia obiectiv şi anumite condiţii impuse variabilelor constituie modelul matematic al problemei.

Dacă atât funcţia obiectiv cât şi restricţiile sunt funcţii liniare modelul respectiv este o problemă de programare liniară.

1.1. Exemple de probleme de programare

liniară

Exemplu. Problemă de organizare a producţiei

O firmă trebuie să realizeze n tipuri de produse Pj (j =1,..., n), folosind m tipuri de resurse Ri (i = 1,.., m). Se cunosc: coeficienţii tehnologici aij (cantitatea din resursa Ri necesară producerii unei unităţi din produsul Pj şi care nu depinde de intensitatea la care urmează să se desfăşoare procesul de producţie); cantităţile disponibile bi din resursele Ri; profitul unitar cj pentru fiecare produs Pj.

Să se întocmească programul (planul) optim de producţie al firmei astfel încât profitul total realizat să fie maxim.

Elaborarea modelului matematic al problemei:

Se notează cu xj (j = 1,..., n) cantitatea din produsul Pj ce urmează a fi produsă.

Funcţia obiectiv este profitul total, care trebuie maximizat:

Restricţiile problemei se datorează limitării resurselor. Consumul din fiecare resursă Ri (i = 1,..,

m) nu poate depăşi cantitatea disponibilă:

Condiţiile asupra variabilelor sunt de nenega-tivitate: xj  0 (j =1,…, n).

Modelul matematic al problemei are forma:

Exemplu. Problemă de amestec

Se efectuează un amestec din uleiurile minerale Uj (j= 1,..., n), în vederea obţinerii unui produs finit cu anumite caracteristici, în cantitate de cel puţin q litri. Amestecul trebuie să conţină substanţele Si (i = 1,..., m) în cantitate de cel puţin bi grame fiecare.

Se cunosc: conţinutul aij în substanţele Si al fiecărui tip de ulei Uj (în grame/l); costul unitar cj al fiecărui tip de ulei Uj.

Cum trebuie efectuat amestecul cu cost total minim ? Ce cantitate din fiecare ulei trebuie pusă în