Proiectarea și Modelarea Rețelelor de Calculatoare

1. CRITERII DE APROXIMARE A FUNCŢIILOR

1.1. Introducere

În foarte multe aplicaţii practice apare necesitatea aproximării unei funcţii f:a,b →R printr-o alta funcţie F(x) relativ simplă, astfel ca pentru orice valoare a lui x, valoarea lui F(x) sa fie "suficient de aproape" de valoarea lui f(x).

Vom scrie f(x)≈F(x), x € a, b .

Există în special două cazuri în care se impune aproximarea funcţiei f(x). Primul este acela în care funcţia f(x) are o expresie complicata sau este dificila de evaluat sau de manipulat în calcule. Astfel, de exemplu, pentru evaluarea funcţiei cos(x) prin operaţii aritmetice se impune mai întâi aproximarea funcţiei printr-o suma parţiala a seriei de puteri: cos x ≈ 1 - x2 + x4 - (-1)n x2n

2! 4! (2n)!

Al doilea caz în care se impune aproximarea funcţiei f(x) este acela în care aceasta este data printr-o tabela de valori, obţinuta, de exemplu, ca urmare a unor măsurători:

xk x0 x1 xn

f(xk) f(x0) f(x1) f(xn)

În această situaţie se aproximează funcţia data tabelar printr-o expresie analitica, care sa permită interpolarea în tabela de valori, cu alte cuvinte estimarea valorilor f(x) pentru x ≠ xk.

Fie M - { f / f: a,b → R } un spaţiu vectorial si fie o mulţime de funcţii φ0(x), φ1(x), φk(x), aparţinând lui M, liniar independente, adică c0φ0(x)+ c1φ1(x)+ + ckφk(x)=0, sa rezulte c0= c1= =ck= 0.

Aproximarea unei funcţii f oarecare din M se face printr-o combinaţie liniara de un număr finit m de funcţii de tipul φk, adica f(x) ≈ Fm(x), unde Fm(x) = c0φ0(x)+ c1φ1(x)+ + cmφm(x) = ckφk(x). Vom numi funcţia Fm(x) polinom generalizat, aproximarea funcţiei f făcându-se în acest caz prin polinoame generalizate.

Foarte frecvent în procesul de aproximare se iau drept set de funcţii liniar independente, funcţiile 1, x, x2, xm. În acest caz, polinomul de aproximare Fm (x) va fi un polinom algebric. Polinoamele sunt uşor de evaluat, iar suma, diferenţa si produsul a doua polinoame conduc de asemenea la polinoame. În plus, polinoamele pot fi derivate si integrate cu uşurinţa. Aproximarea polinomiala se bazează pe teorema de aproximare a lui Weierstrass care arata ca daca f(x) este continua pe intervalul închis a,b atunci pentru orice ε > 0, exista un polinom pn(x) de gradul n=n(ε) , astfel ca: f(x)-pnx < ε, a ≤ x ≤ b.

Din nefericire criteriile existente pentru generarea polinomului de aproximare nu garantează în nici un fel că polinomul găsit este cel pus în evidenţă de teorema lui Weierstrass.

Un alt set de funcţii liniar independente, des utilizate în teoria aproximării, sunt: ½, cos x, sin x cos 2x, sin 2x, cos mx, sin mx. În acest caz polinomul de aproximare poartă numele de polinom trigonometric.

Fm(x) = a0/2 + a1 cos x + b1 sinx + + am cos mx + bm sin mx = a0/2 + (ak cos kx + bk sin kx).

Din expresia funcţiei Fm(x) se observa ca nu este suficienta cunoaşterea funcţiilor liniar independente φk(x), fiind necesara de asemenea determinarea coeficienţilor ck Pentru calculul acestor coeficienţi sa presupunem ca spaţiul M se poate organiza ca un spaţiu metric, adica putem defini pe M o funcţie ce măsoară distanta dintre doua funcţii oarecare f si g. Vom determina polinomul generalizat Fm(x) deci si coeficienţii c0, c1, ,cm impunând condiţia ca distanta dintre funcţia data f si mulţimea polinoamelor generalizate sa fie cit mai mica. În funcţie de modul de definire a distantei se pot pune în evidenta următoarele criterii mai des utilizate