Cuprins
Introducere ..4
CAP.I Integrala în sensul lui Riemann
I.1. Definiția integralei în sensul lui Riemann 5
I.2. Criteriul lui Darboux 8
I.3 Clase de funcții integrabile. Criteriul lui Lebesgue 10
I.4 Proprietățile funcțiilor integrabile ...12
CAP.II Integrabilitatea funcției reale de o variabilă reală
II.1. Primitiva unei funcții 15
II.2. Tabloul primitivelor imediate 16
II.3 Integrala nedefinită 18
II.4 Metode de calcul al primitivelor .20
II.5 Formula lui Leibniz-Newton .24
II.6 Metode de integrare pentru integrale definite 26
II.7 Integrarea funcțiilor raționale 35
II.8 Legătura dintre unele clase remarcabile 41
CAP.III Integrala dublă
III.1 Noțiunea de integrală dublă ..45
III.2 Proprietăți generale ale integralei duble ...47
III.3 Reprezentarea integralei duble cu ajutorul sumelor de tip Riemann ...48
III.4 Descompunerea unei integrale duble în integrale simple 49
III.5 Schimbarea de variabile la integrala dublă .54
Bibliografie .64
Extras din document
Introducere
Prezenta lucrare are ca scop extinderea noțiunii de integrală, înlocuind intervalul de
integrare cu corespondentul său în plan sau în spațiu. Formal, noțiunii de ,,interval
unidimensional’’ îi corespunde, în plan, noțiunea de ,,interval bidimensional’’, iar în spațiu,
aceea de ,,interval tridimensional’’.
Lucrarea este format din trei capitole, după cum urmează:
Capitolul I: Integrala în sensul lui Riemann
Capitolul II: Integrarea funcției reale de o variabilă reală
Capitolul III: Integrala dublă
În capitolul I se tratează noțiunile matematice fundamentale pentru studiul integralei
definite ca: noțiunile de diviziune a unui interval compact, interval parțial al unei diviziuni,
normă a unei diviziuni, sistem de puncte intermediare asociat unei diviziuni, suma Riemann,
funcție integrabilă. De asemenea, sunt prezentate criteriul lui Darboux, clase de funcții
integrabile, criteriul lui Lebesgue, proprietățile funcțiilor integrabile.
Capitolul al doilea este dedicat metodelor de integrare a funcției reale de o variabilă
reală. În acest sens sunt tratate noțiunile de primitivă a unei funcții, integrală nedefinită și sunt
expuse următoarele concepte: tabloul primitivelor imediate, urmat de proprietățile acestora,
metode de calcul al primitivelor, formula lui Leibniz-Newton, metode de integrare pentru
integrale definite, integrarea funcțiilor raționale, legătura dintre unele clase remarcabile de
funcții, fiecare dintre acestea fiind însoțită de aplicații.
Ultimul capitol tratează conceptul de integrală dublă. De asemenea, ilustrează
proprietățile generale ale acesteia, teorema de reprezentare a integralei duble prin sume
riemanniene, teorema de descompunere a integralei duble în integrale simple și aplicații,
teorema de schimbare de variabile la integrala dublă și aplicații.
5
Capitolul I
Integrala în sensul lui Riemann
I.1. Definiția integralei în sensul lui Riemann
Vom trata în cele ce urmează noțiunile matematice fundamentale pentru studiul
integralei, ca: noțiunile de diviziune a unui interval închis și mărginit, interval parțial al unei
diviziuni, normă a unei diviziuni, sistem de puncte intermediare asociat unei diviziuni, suma
Riemann, funcție integrabilă.
Definiția I.1.1. Fie ????, ???? un interval (închis și mărginit), ???? ≤ ????. Se numește
diviziune a intervalului ????, ???? o familie finită de puncte Δ= ????1, ????2, ⋯ , ???????? așa încât
???? = ????0 ≤ ????1 ≤ ????2 ≤ ⋯ ≤ ????????−1 ≤ ???????? ≤ ⋯ ≤ ????????−1 ≤ ???????? = ????.
Definiția I.1.2. Fiecare din intervalele ????????−1; ???????? , pentru orice ???? ∈ 1,2, ⋯ , ???? se
numește interval parțial al diviziunii Δ. Un interval parțial ????????−1; ???????? , pentru orice ???? ∈
1,2, ⋯ , ???? poate conține un singur punct, dacă ????????−1 = ???????? , ∀ ???? ∈ 1,2, ⋯ , ???? .
Definiția I.1.3. Lungimea celui mai mare interval parțial al unei diviziuni Δ=
????0, ????1, ⋯ , ????????−1, ???????? , ⋯ , ???????? se numește norma diviziunii Δ și se notează Δ
, unde
Δ max
1≤????≤????
???????? − ????????−1 .
Definiția I.1.4. Se numește sistem de puncte intermediare asociat diviziunii Δ un
sistem finit de puncte ????Δ = ????1, ????2, ⋯ , ???????? cu proprietatea că ???????? ∈ ????????−1; ???????? , pentru orice
???? ∈ 1,2, ⋯ , ???? .
Definiția I.1.5. Fie ????: ????, ???? - ℝ. Numărul notat
????Δ ????, ????Δ = ???? ????????
????
????=1
???????? − ????????−1
se numește suma Riemann asociată funcției ????, diviziunii Δ și sistemului de puncte
intermediare ????Δ .
Definiția I.1.6. Funcția ???? este integrabilă (în sensul lui Riemann) pe intervalul
????, ???? , dacă pentru orice șir de diviziuni Δ???? cu norma tinzând către 0, Δ???? - 0, și pentru
orice alegere a punctelor intermediare ???????? , ∀ ???? ∈ 1,2, ⋯ , ???? , șirurile corespunzătoare
????Δ???? ????, ????Δn de sume integrabile au o limită finită comună ????. Numărul ???? se numește
integrala (în sensul lui Riemann) funcției ???? pe intervalul ????, ???? și se notează
Bibliografie
1 Albu T., Ion D.Ion - Capitole de teoria algebrică a numerelor, Editura Academiei
României, București, 1984.
2 Aramă L., Morozan T. - Culegere de probleme de calcul diferențial și integral, vol.I,
Editura Tehnică, București, 1964.
3 Băețica C., Dăscălescu S. - Probleme de algebră, București, 1993.
4 Bătinețu D.M. - Șiruri, Editura Albatros, București, 1979.
5 Bucur Gh., Câmpu E., Găină S. - Culegere de probleme de calcul diferențial și integral,
vol.II, Editura tehnică, București, 1966.
6 Cârjă O. - Calcul integral, http://www.math.uaic.ro/~ocarja.
7 Cohn P.M. - Algebra, vol.I, 2 John Wiley and Sons, Londra, 1974, 1977.
8 Creangă I., Enescu I. - Algebre, Editura Tehnică, 1973.
9 Drăgușin C., Olteanu O., Gavrilă M. - Analiză matematică. Probleme, vol.I, Editura
Matrix Rom, București, 2006.
10 Dinculeanu N., Nicolescu M., Marcus S. - Analiză matematică, vol.I, II, Editura
Didactică și Pedagogică, București, 1966, 1980.
11 Galbură Gh. - Algebra, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1965.
12 Leonte A.V., Niculescu C.P. - Culegre de probleme de algebră și analiză matematică,
Editura Scrisul Românesc, Craiova, 1981.
13 Maor E. - Splendorile trigonometriei. O perspectivă istorică, Editura Theta, București,
2007.
14 Marcus S. - Noțiuni de analiză matematică, Editura Științifică, București, 1967.
15 Nicolescu M. - Analiză matematică, vol.II, Editura Tehnică, 1958.
16 Precupeanu A.M. - Bazele analizei matematice, Editura Universității ,,Al.I.Cuza’’, Iași,
1993.
17 Precupeanu A.M. - Analiză matematică. Funcții reale, Editura Didactică și Pedagogică,
București, 1976.
18 Radomir I., Fulga A. - Analiză matematică, Editura Albastră, Cluj-Napoca, 2008.
19 Sabodâș A. - Analiză matematică. Note de curs și seminar, Editura Universității Tehnice
,,Gh.Asachi’’, Iași, 2001.
20 Sirețchi Gh. - Calcul diferențial și integral, vol.I, II, Editura Științifică și Enciclopedică,
București, 1985.
21 Vasilache S. - Elemente de teoria mulțimilor și a structurilor algebrice, Editura
Academiei Române, 1956.
Preview document
Conținut arhivă zip
- Integrabilitatea functiilor reale de o variabila reala si de doua variabile reale.PDF