Integrabilitatea funcțiilor reale de o variabilă reală și de două variabile reale

Introducere

Prezenta lucrare are ca scop extinderea noțiunii de integrală, înlocuind intervalul de

integrare cu corespondentul său în plan sau în spațiu. Formal, noțiunii de ,,interval

unidimensional’’ îi corespunde, în plan, noțiunea de ,,interval bidimensional’’, iar în spațiu,

aceea de ,,interval tridimensional’’.

Lucrarea este format din trei capitole, după cum urmează:

Capitolul I: Integrala în sensul lui Riemann

Capitolul II: Integrarea funcției reale de o variabilă reală

Capitolul III: Integrala dublă

În capitolul I se tratează noțiunile matematice fundamentale pentru studiul integralei

definite ca: noțiunile de diviziune a unui interval compact, interval parțial al unei diviziuni,

normă a unei diviziuni, sistem de puncte intermediare asociat unei diviziuni, suma Riemann,

funcție integrabilă. De asemenea, sunt prezentate criteriul lui Darboux, clase de funcții

integrabile, criteriul lui Lebesgue, proprietățile funcțiilor integrabile.

Capitolul al doilea este dedicat metodelor de integrare a funcției reale de o variabilă

reală. În acest sens sunt tratate noțiunile de primitivă a unei funcții, integrală nedefinită și sunt

expuse următoarele concepte: tabloul primitivelor imediate, urmat de proprietățile acestora,

metode de calcul al primitivelor, formula lui Leibniz-Newton, metode de integrare pentru

integrale definite, integrarea funcțiilor raționale, legătura dintre unele clase remarcabile de

funcții, fiecare dintre acestea fiind însoțită de aplicații.

Ultimul capitol tratează conceptul de integrală dublă. De asemenea, ilustrează

proprietățile generale ale acesteia, teorema de reprezentare a integralei duble prin sume

riemanniene, teorema de descompunere a integralei duble în integrale simple și aplicații,

teorema de schimbare de variabile la integrala dublă și aplicații.

5

Capitolul I

Integrala în sensul lui Riemann

I.1. Definiția integralei în sensul lui Riemann

Vom trata în cele ce urmează noțiunile matematice fundamentale pentru studiul

integralei, ca: noțiunile de diviziune a unui interval închis și mărginit, interval parțial al unei

diviziuni, normă a unei diviziuni, sistem de puncte intermediare asociat unei diviziuni, suma

Riemann, funcție integrabilă.

Definiția I.1.1. Fie ????, ???? un interval (închis și mărginit), ???? ≤ ????. Se numește

diviziune a intervalului ????, ???? o familie finită de puncte Δ= ????1, ????2, ⋯ , ???????? așa încât

???? = ????0 ≤ ????1 ≤ ????2 ≤ ⋯ ≤ ????????−1 ≤ ???????? ≤ ⋯ ≤ ????????−1 ≤ ???????? = ????.

Definiția I.1.2. Fiecare din intervalele ????????−1; ???????? , pentru orice ???? ∈ 1,2, ⋯ , ???? se

numește interval parțial al diviziunii Δ. Un interval parțial ????????−1; ???????? , pentru orice ???? ∈

1,2, ⋯ , ???? poate conține un singur punct, dacă ????????−1 = ???????? , ∀ ???? ∈ 1,2, ⋯ , ???? .

Definiția I.1.3. Lungimea celui mai mare interval parțial al unei diviziuni Δ=

????0, ????1, ⋯ , ????????−1, ???????? , ⋯ , ???????? se numește norma diviziunii Δ și se notează Δ

, unde

Δ max

1≤????≤????

???????? − ????????−1 .

Definiția I.1.4. Se numește sistem de puncte intermediare asociat diviziunii Δ un

sistem finit de puncte ????Δ = ????1, ????2, ⋯ , ???????? cu proprietatea că ???????? ∈ ????????−1; ???????? , pentru orice

???? ∈ 1,2, ⋯ , ???? .

Definiția I.1.5. Fie ????: ????, ???? - ℝ. Numărul notat

????Δ ????, ????Δ = ???? ????????

????

????=1

???????? − ????????−1

se numește suma Riemann asociată funcției ????, diviziunii Δ și sistemului de puncte

intermediare ????Δ .

Definiția I.1.6. Funcția ???? este integrabilă (în sensul lui Riemann) pe intervalul

????, ???? , dacă pentru orice șir de diviziuni Δ???? cu norma tinzând către 0, Δ???? - 0, și pentru

orice alegere a punctelor intermediare ???????? , ∀ ???? ∈ 1,2, ⋯ , ???? , șirurile corespunzătoare

????Δ???? ????, ????Δn de sume integrabile au o limită finită comună ????. Numărul ???? se numește

integrala (în sensul lui Riemann) funcției ???? pe intervalul ????, ???? și se notează