Integrabilitatea funcțiilor reale de o variabilă reală și de două variabile reale

Disertație
8/10 (1 vot)
Domeniu: Matematică
Conține 1 fișier: pdf
Pagini : 64 în total
Cuvinte : 9067
Mărime: 1.04MB (arhivat)
Cost: 11 puncte
Profesor îndrumător / Prezentat Profesorului: Lect.univ.dr. Velicu Georgiana
Facultatea de Stiinte si Arte
Universitatea Valahia, Targoviste

Cuprins

Introducere ..4

CAP.I Integrala în sensul lui Riemann

I.1. Definiția integralei în sensul lui Riemann 5

I.2. Criteriul lui Darboux 8

I.3 Clase de funcții integrabile. Criteriul lui Lebesgue 10

I.4 Proprietățile funcțiilor integrabile ...12

CAP.II Integrabilitatea funcției reale de o variabilă reală

II.1. Primitiva unei funcții 15

II.2. Tabloul primitivelor imediate 16

II.3 Integrala nedefinită 18

II.4 Metode de calcul al primitivelor .20

II.5 Formula lui Leibniz-Newton .24

II.6 Metode de integrare pentru integrale definite 26

II.7 Integrarea funcțiilor raționale 35

II.8 Legătura dintre unele clase remarcabile 41

CAP.III Integrala dublă

III.1 Noțiunea de integrală dublă ..45

III.2 Proprietăți generale ale integralei duble ...47

III.3 Reprezentarea integralei duble cu ajutorul sumelor de tip Riemann ...48

III.4 Descompunerea unei integrale duble în integrale simple 49

III.5 Schimbarea de variabile la integrala dublă .54

Bibliografie .64

Extras din document

Introducere

Prezenta lucrare are ca scop extinderea noțiunii de integrală, înlocuind intervalul de

integrare cu corespondentul său în plan sau în spațiu. Formal, noțiunii de ,,interval

unidimensional’’ îi corespunde, în plan, noțiunea de ,,interval bidimensional’’, iar în spațiu,

aceea de ,,interval tridimensional’’.

Lucrarea este format din trei capitole, după cum urmează:

Capitolul I: Integrala în sensul lui Riemann

Capitolul II: Integrarea funcției reale de o variabilă reală

Capitolul III: Integrala dublă

În capitolul I se tratează noțiunile matematice fundamentale pentru studiul integralei

definite ca: noțiunile de diviziune a unui interval compact, interval parțial al unei diviziuni,

normă a unei diviziuni, sistem de puncte intermediare asociat unei diviziuni, suma Riemann,

funcție integrabilă. De asemenea, sunt prezentate criteriul lui Darboux, clase de funcții

integrabile, criteriul lui Lebesgue, proprietățile funcțiilor integrabile.

Capitolul al doilea este dedicat metodelor de integrare a funcției reale de o variabilă

reală. În acest sens sunt tratate noțiunile de primitivă a unei funcții, integrală nedefinită și sunt

expuse următoarele concepte: tabloul primitivelor imediate, urmat de proprietățile acestora,

metode de calcul al primitivelor, formula lui Leibniz-Newton, metode de integrare pentru

integrale definite, integrarea funcțiilor raționale, legătura dintre unele clase remarcabile de

funcții, fiecare dintre acestea fiind însoțită de aplicații.

Ultimul capitol tratează conceptul de integrală dublă. De asemenea, ilustrează

proprietățile generale ale acesteia, teorema de reprezentare a integralei duble prin sume

riemanniene, teorema de descompunere a integralei duble în integrale simple și aplicații,

teorema de schimbare de variabile la integrala dublă și aplicații.

5

Capitolul I

Integrala în sensul lui Riemann

I.1. Definiția integralei în sensul lui Riemann

Vom trata în cele ce urmează noțiunile matematice fundamentale pentru studiul

integralei, ca: noțiunile de diviziune a unui interval închis și mărginit, interval parțial al unei

diviziuni, normă a unei diviziuni, sistem de puncte intermediare asociat unei diviziuni, suma

Riemann, funcție integrabilă.

Definiția I.1.1. Fie ????, ???? un interval (închis și mărginit), ???? ≤ ????. Se numește

diviziune a intervalului ????, ???? o familie finită de puncte Δ= ????1, ????2, ⋯ , ???????? așa încât

???? = ????0 ≤ ????1 ≤ ????2 ≤ ⋯ ≤ ????????−1 ≤ ???????? ≤ ⋯ ≤ ????????−1 ≤ ???????? = ????.

Definiția I.1.2. Fiecare din intervalele ????????−1; ???????? , pentru orice ???? ∈ 1,2, ⋯ , ???? se

numește interval parțial al diviziunii Δ. Un interval parțial ????????−1; ???????? , pentru orice ???? ∈

1,2, ⋯ , ???? poate conține un singur punct, dacă ????????−1 = ???????? , ∀ ???? ∈ 1,2, ⋯ , ???? .

Definiția I.1.3. Lungimea celui mai mare interval parțial al unei diviziuni Δ=

????0, ????1, ⋯ , ????????−1, ???????? , ⋯ , ???????? se numește norma diviziunii Δ și se notează Δ

, unde

Δ max

1≤????≤????

???????? − ????????−1 .

Definiția I.1.4. Se numește sistem de puncte intermediare asociat diviziunii Δ un

sistem finit de puncte ????Δ = ????1, ????2, ⋯ , ???????? cu proprietatea că ???????? ∈ ????????−1; ???????? , pentru orice

???? ∈ 1,2, ⋯ , ???? .

Definiția I.1.5. Fie ????: ????, ???? - ℝ. Numărul notat

????Δ ????, ????Δ = ???? ????????

????

????=1

???????? − ????????−1

se numește suma Riemann asociată funcției ????, diviziunii Δ și sistemului de puncte

intermediare ????Δ .

Definiția I.1.6. Funcția ???? este integrabilă (în sensul lui Riemann) pe intervalul

????, ???? , dacă pentru orice șir de diviziuni Δ???? cu norma tinzând către 0, Δ???? - 0, și pentru

orice alegere a punctelor intermediare ???????? , ∀ ???? ∈ 1,2, ⋯ , ???? , șirurile corespunzătoare

????Δ???? ????, ????Δn de sume integrabile au o limită finită comună ????. Numărul ???? se numește

integrala (în sensul lui Riemann) funcției ???? pe intervalul ????, ???? și se notează

Bibliografie

1 Albu T., Ion D.Ion - Capitole de teoria algebrică a numerelor, Editura Academiei

României, București, 1984.

2 Aramă L., Morozan T. - Culegere de probleme de calcul diferențial și integral, vol.I,

Editura Tehnică, București, 1964.

3 Băețica C., Dăscălescu S. - Probleme de algebră, București, 1993.

4 Bătinețu D.M. - Șiruri, Editura Albatros, București, 1979.

5 Bucur Gh., Câmpu E., Găină S. - Culegere de probleme de calcul diferențial și integral,

vol.II, Editura tehnică, București, 1966.

6 Cârjă O. - Calcul integral, http://www.math.uaic.ro/~ocarja.

7 Cohn P.M. - Algebra, vol.I, 2 John Wiley and Sons, Londra, 1974, 1977.

8 Creangă I., Enescu I. - Algebre, Editura Tehnică, 1973.

9 Drăgușin C., Olteanu O., Gavrilă M. - Analiză matematică. Probleme, vol.I, Editura

Matrix Rom, București, 2006.

10 Dinculeanu N., Nicolescu M., Marcus S. - Analiză matematică, vol.I, II, Editura

Didactică și Pedagogică, București, 1966, 1980.

11 Galbură Gh. - Algebra, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1965.

12 Leonte A.V., Niculescu C.P. - Culegre de probleme de algebră și analiză matematică,

Editura Scrisul Românesc, Craiova, 1981.

13 Maor E. - Splendorile trigonometriei. O perspectivă istorică, Editura Theta, București,

2007.

14 Marcus S. - Noțiuni de analiză matematică, Editura Științifică, București, 1967.

15 Nicolescu M. - Analiză matematică, vol.II, Editura Tehnică, 1958.

16 Precupeanu A.M. - Bazele analizei matematice, Editura Universității ,,Al.I.Cuza’’, Iași,

1993.

17 Precupeanu A.M. - Analiză matematică. Funcții reale, Editura Didactică și Pedagogică,

București, 1976.

18 Radomir I., Fulga A. - Analiză matematică, Editura Albastră, Cluj-Napoca, 2008.

19 Sabodâș A. - Analiză matematică. Note de curs și seminar, Editura Universității Tehnice

,,Gh.Asachi’’, Iași, 2001.

20 Sirețchi Gh. - Calcul diferențial și integral, vol.I, II, Editura Științifică și Enciclopedică,

București, 1985.

21 Vasilache S. - Elemente de teoria mulțimilor și a structurilor algebrice, Editura

Academiei Române, 1956.

Preview document

Integrabilitatea funcțiilor reale de o variabilă reală și de două variabile reale - Pagina 1
Integrabilitatea funcțiilor reale de o variabilă reală și de două variabile reale - Pagina 2
Integrabilitatea funcțiilor reale de o variabilă reală și de două variabile reale - Pagina 3
Integrabilitatea funcțiilor reale de o variabilă reală și de două variabile reale - Pagina 4
Integrabilitatea funcțiilor reale de o variabilă reală și de două variabile reale - Pagina 5
Integrabilitatea funcțiilor reale de o variabilă reală și de două variabile reale - Pagina 6
Integrabilitatea funcțiilor reale de o variabilă reală și de două variabile reale - Pagina 7
Integrabilitatea funcțiilor reale de o variabilă reală și de două variabile reale - Pagina 8
Integrabilitatea funcțiilor reale de o variabilă reală și de două variabile reale - Pagina 9
Integrabilitatea funcțiilor reale de o variabilă reală și de două variabile reale - Pagina 10
Integrabilitatea funcțiilor reale de o variabilă reală și de două variabile reale - Pagina 11
Integrabilitatea funcțiilor reale de o variabilă reală și de două variabile reale - Pagina 12
Integrabilitatea funcțiilor reale de o variabilă reală și de două variabile reale - Pagina 13
Integrabilitatea funcțiilor reale de o variabilă reală și de două variabile reale - Pagina 14
Integrabilitatea funcțiilor reale de o variabilă reală și de două variabile reale - Pagina 15
Integrabilitatea funcțiilor reale de o variabilă reală și de două variabile reale - Pagina 16
Integrabilitatea funcțiilor reale de o variabilă reală și de două variabile reale - Pagina 17
Integrabilitatea funcțiilor reale de o variabilă reală și de două variabile reale - Pagina 18
Integrabilitatea funcțiilor reale de o variabilă reală și de două variabile reale - Pagina 19
Integrabilitatea funcțiilor reale de o variabilă reală și de două variabile reale - Pagina 20
Integrabilitatea funcțiilor reale de o variabilă reală și de două variabile reale - Pagina 21
Integrabilitatea funcțiilor reale de o variabilă reală și de două variabile reale - Pagina 22
Integrabilitatea funcțiilor reale de o variabilă reală și de două variabile reale - Pagina 23
Integrabilitatea funcțiilor reale de o variabilă reală și de două variabile reale - Pagina 24
Integrabilitatea funcțiilor reale de o variabilă reală și de două variabile reale - Pagina 25
Integrabilitatea funcțiilor reale de o variabilă reală și de două variabile reale - Pagina 26
Integrabilitatea funcțiilor reale de o variabilă reală și de două variabile reale - Pagina 27
Integrabilitatea funcțiilor reale de o variabilă reală și de două variabile reale - Pagina 28
Integrabilitatea funcțiilor reale de o variabilă reală și de două variabile reale - Pagina 29
Integrabilitatea funcțiilor reale de o variabilă reală și de două variabile reale - Pagina 30
Integrabilitatea funcțiilor reale de o variabilă reală și de două variabile reale - Pagina 31
Integrabilitatea funcțiilor reale de o variabilă reală și de două variabile reale - Pagina 32
Integrabilitatea funcțiilor reale de o variabilă reală și de două variabile reale - Pagina 33
Integrabilitatea funcțiilor reale de o variabilă reală și de două variabile reale - Pagina 34
Integrabilitatea funcțiilor reale de o variabilă reală și de două variabile reale - Pagina 35
Integrabilitatea funcțiilor reale de o variabilă reală și de două variabile reale - Pagina 36
Integrabilitatea funcțiilor reale de o variabilă reală și de două variabile reale - Pagina 37
Integrabilitatea funcțiilor reale de o variabilă reală și de două variabile reale - Pagina 38
Integrabilitatea funcțiilor reale de o variabilă reală și de două variabile reale - Pagina 39
Integrabilitatea funcțiilor reale de o variabilă reală și de două variabile reale - Pagina 40
Integrabilitatea funcțiilor reale de o variabilă reală și de două variabile reale - Pagina 41
Integrabilitatea funcțiilor reale de o variabilă reală și de două variabile reale - Pagina 42
Integrabilitatea funcțiilor reale de o variabilă reală și de două variabile reale - Pagina 43
Integrabilitatea funcțiilor reale de o variabilă reală și de două variabile reale - Pagina 44
Integrabilitatea funcțiilor reale de o variabilă reală și de două variabile reale - Pagina 45
Integrabilitatea funcțiilor reale de o variabilă reală și de două variabile reale - Pagina 46
Integrabilitatea funcțiilor reale de o variabilă reală și de două variabile reale - Pagina 47
Integrabilitatea funcțiilor reale de o variabilă reală și de două variabile reale - Pagina 48
Integrabilitatea funcțiilor reale de o variabilă reală și de două variabile reale - Pagina 49
Integrabilitatea funcțiilor reale de o variabilă reală și de două variabile reale - Pagina 50
Integrabilitatea funcțiilor reale de o variabilă reală și de două variabile reale - Pagina 51
Integrabilitatea funcțiilor reale de o variabilă reală și de două variabile reale - Pagina 52
Integrabilitatea funcțiilor reale de o variabilă reală și de două variabile reale - Pagina 53
Integrabilitatea funcțiilor reale de o variabilă reală și de două variabile reale - Pagina 54
Integrabilitatea funcțiilor reale de o variabilă reală și de două variabile reale - Pagina 55
Integrabilitatea funcțiilor reale de o variabilă reală și de două variabile reale - Pagina 56
Integrabilitatea funcțiilor reale de o variabilă reală și de două variabile reale - Pagina 57
Integrabilitatea funcțiilor reale de o variabilă reală și de două variabile reale - Pagina 58
Integrabilitatea funcțiilor reale de o variabilă reală și de două variabile reale - Pagina 59
Integrabilitatea funcțiilor reale de o variabilă reală și de două variabile reale - Pagina 60
Integrabilitatea funcțiilor reale de o variabilă reală și de două variabile reale - Pagina 61
Integrabilitatea funcțiilor reale de o variabilă reală și de două variabile reale - Pagina 62
Integrabilitatea funcțiilor reale de o variabilă reală și de două variabile reale - Pagina 63
Integrabilitatea funcțiilor reale de o variabilă reală și de două variabile reale - Pagina 64

Conținut arhivă zip

  • Integrabilitatea functiilor reale de o variabila reala si de doua variabile reale.PDF

Alții au mai descărcat și

Plan de lecție clasa a XII a - proprietăți ale legilor de compoziție - comutativitate . asociativitate

Liceul : Grup Scolar Industrial Construtii de Masini Dacia Clasa :a XII-a E Data : 6.10.2008 Propunator : profesor Disciplina:...

Matematici Speciale

Tema de casă nr.1 1. Funcţii şi formule trigonometrice 2. Formule de derivare 3. Formule de integrare Temă de casă nr.2 1. Să se determine...

Teoria Optimizarii

TeoriaOptimizarii Curs 1 -Introducere •Acestcurs oferao introducerein teoriaoptimizarii •Se vaurmariconcizia, corectitudinea,...

Metode Numerice Cursurile 1-9

2. ERORI 2.1. INTRODUCERE Calculele numerice fie ca sunt executate manual, fie ca sunt executate pe un calculator, implica o serie de erori de...

Progresii Aritmetice și Geometrice

1.DEFINITIA PROGRESIEI ARITMETICE Un sir de numere (A1 ,A2 ,… ,An ; n>=1) in care fiecare termen incepand cu al doilea ,se obtine din cel...

Te-ar putea interesa și

Transformata Integrala Fourier

INTRODUCERE Notiunea de transformare integralÎ Fie K(x, y) o functie continuÎ de douÎ variabile reale, K: I U fixatÎ, unde I este un interval pe...

Calculul Aproximativ al Integralelor Multiple

INTRODUCERE Această lucrare intitulată ,,Calculul aproximativ al integralelor multiple” este structurată pe patru capitole: Capitolul I...

Aplicația integralei duble

CAPITOLUL I. NOŢIUNII FUNDAMENTALE PRIVIND INTEGRALA DEFINITĂ. 1.1. Conceptul de integrală definită. 1.1.1. Definiţia şi proprietăţi. Fie...

Ecuații Diferențiale Ordinare de Ordinul Întâi Integrabile prin Cuadraturi

O ecuaţie diferenţială ordinară de ordinul întâi sub formă normală se prezintă printr-o egalitate de forma: , (1) unde este funcţia necunoscută...

Matematici speciale - funcții complexe

1. Numere complexe Un număr complex se defineşte ca o pereche ordonată de numere reale unde a se numeşte partea reală, iar b – partea imaginară a...

Matematici Speciale

Tema de casă nr.1 1. Funcţii şi formule trigonometrice 2. Formule de derivare 3. Formule de integrare Temă de casă nr.2 1. Să se determine...

Procesarea Imaginilor

Cap.1. Elemente de percepţie vizuală. 1.1. Vederea umană Elementul sensibil la lumină al ochiului este retina, pe care se focalizează imaginea....

Serii Trigonometrice

Serii trigonometrice Vom studia clasa particulară de serii de funcţii ()1nfx∞Σ cu ()()()()000,cossin,1, cu nnnnnfxafxanxbnxnxa≥==+≥∈⊂RR, numite...

Ai nevoie de altceva?