Rolul noțiunii de limită în unele probleme de matematică

Disertație
9/10 (1 vot)
Domeniu: Matematică
Conține 1 fișier: doc
Pagini : 72 în total
Cuvinte : 23091
Mărime: 719.52KB (arhivat)
Cost: 11 puncte
Facultatea de Stiinte
Universitatea Vasile Alecsandri din Bacau, Bacau

Cuprins

1. Introducere .5

2. Capitolul I: Noțiuni sumare de topologie

1.1 Elemente de topologie generală . .6

1.2 Spații metrice .. 8

1.3 Spații vectoriale ..9

1.4 Spațiu normat ..9

1.5 Spații Hilbert .10

1.6 Aplicații .12

3. Capitolul II: Șiruri din Rn

2.1 Limita unui șir ...16

2.2 Șiruri fundamentale ...17

2.3 Lema lui Cesaro. Teorema lui Weierstrass - Bolzano.

Teorema lui Borel - Lebesgue . 19

2.4 Șiruri convergente din R 21

2.5Aplicații . 23

4. Capitolul III: Limite de funcții. Continuitate

3.1 Limite de funcții reale de variabilă reală 34

3.2 Limite laterale .36

3.3 Propietățile limitelor de funcții ...41

3.4 Continuitatea funcțiilor reale de variabilă reală ..45

3.5 Propietățile functiilor continue ... 48

3.6 Limita funcțiilor vectoriale .. 57

3.7 Aplicații ... 65

5. Bibliografie 71

Extras din document

Introducere

Noțiunea de limită este indispensabilă în definirea și studiul conceptelor de bază ale analizei matematice: continuitatea, derivabilitatea și integrabilitatea funcțiilor.

Germenii noțiunii de limită trebuie să fie aparut din cele mai vechi timpuri, de vreme ce babilonienii aproximau radăcina pătrată dintr - un număr pozitiv de forma , unde (xn)n 1 este șirul dat de relația de recurență xn = , pentru n 1 și x1 = a.

Această aproximație s-a dovedit ulterior nu numai corectă ci și avantajoasă pentru calculul numeric.

Apoi pentru determinarea lungimii la un cerc de rază r, grecii utilizau aproximarea l pn, unde pn = 2rn sin /n este perimetrul poligonului regulat cu n laturi înscris în acest cerc.

În formulările lor moderne, noțiunile de limită de șiruri și de limită de funcții într-un punct se întalnesc în carțile lui B. Bolzano (1817) si Cauchy (1821), iar în forme apropiate de cele actuale apar odata cu inceputurile elaborarii riguroase a conceptului de multime a numerelor reale in lucrarea lui G. Cantor (1872) si Weierstrass (1874).

Dintre contributiile ultimului sfert de secol mentionam cercetarile de analiza nestandart ale lui A. Robinson (1960) in care conceptualul de limita se echivaleaza cu o teorie revitalizata a infinitatilor mici precum si cele ale lui E. Y. Mc. Shane relative la introducerea axiomatic a notiunii de limita.

Ideea de limită a unei functii f : E -> R într-un punct a R a aparut din necesitatea de a descrie comportarea lui f in jurul lui a, mai ales în apropierea lui a există o infinitate de puncte ale lui E, adică atunci când a este punct de acumulare pentru E.

Capitolul I

Noțiuni de topologie

1.1 Elemente de topologie generală

O topologie asupra unei mulțimi nevide X este prin definiție o familie de mulțimi care se bucură de următoarele trei propietăți:

- Intersecția a două mulțimi din este un element din

- Oricare reuniune de elemente din este un element din

- X și

Mulțimea X se numește spațiul topologiei iar perechea ( , ) este prin definiție spațiul topologic.

Fie x0 un punct de pe o dreapta.Vom numi vecinatate a lui x0, orice punct V care conține un interval deschis (a, b) care conține pe x0 astfel încât x0 (a,b) V. În particular orice interval deschis (a, b) care conține pe x0, adică a < x0 < b este o vecinătate a lui x0. (fig. 1.1)

a x0 b

(fig. 1.1)

Vecinătațile de forma ( ) se numesc vecinătăți simetrice ale lui x0. (fig. 1.2)

x

(fig. 1.2)

Observație: Orice vecinătate V a lui x0 conține o vecinătate simetrică a lui x0.

Demonstrație: Fie (a,b) un interval deschis și x0 (a,b) V. Cum a< x0<b rezultă:

a = min(x0-a,b- x0)>0 și (x0- ,x0+ ) (a,b) V.

Propietăți:

- Orice punct x X are o vecinătate. Într-adevăr X este o vecinătate pentru oricare din punctele sale.

- Dacă V este o vecinătate a lui X și U V, atunci U este o vecinătate a lui X.

- Dacă V’ și V’’ sunt două vecinătați ale lui x atunci este o vecinătate a lui X.

- Dacă V este o vecinătate a lui X, există o parte G V astfel încât V este vecinătate a oricărui punct din G.

Aceste propietăți sunt suficiente pentru a defini o topologie în felul următor:

Bibliografie

- Miron Nicolescu - ‘Analiză matematică ’ vol. I și II

Editura Didactică și Pedagogică - București 1958

- Anca precupanu - ‘Bazele analizei matematice’

Collegium - 1998

- Rosculet M. - ‘Analiză matematică ’ vol. I

Editura Didactică și Pedagogică - 1978

- Stanasila O. - ‘Analiză matematică ’

Editura Didactică și Pedagogică - 1981

- Nicolae Dinculescu si Eugen Radu - ‘ Elemente de analiză matematică ’

Editura Didactică și Pedagogică - 1974

- Ghoeorghiu N. si Precupanu T. - ‘Analiză matematică ’

Editura Didactică și Pedagogică - 1979

- Mircea Ganga - ‘Elemente de analiză matematică’

Editura Mathpress - 2003

Preview document

Rolul noțiunii de limită în unele probleme de matematică - Pagina 1
Rolul noțiunii de limită în unele probleme de matematică - Pagina 2
Rolul noțiunii de limită în unele probleme de matematică - Pagina 3
Rolul noțiunii de limită în unele probleme de matematică - Pagina 4
Rolul noțiunii de limită în unele probleme de matematică - Pagina 5
Rolul noțiunii de limită în unele probleme de matematică - Pagina 6
Rolul noțiunii de limită în unele probleme de matematică - Pagina 7
Rolul noțiunii de limită în unele probleme de matematică - Pagina 8
Rolul noțiunii de limită în unele probleme de matematică - Pagina 9
Rolul noțiunii de limită în unele probleme de matematică - Pagina 10
Rolul noțiunii de limită în unele probleme de matematică - Pagina 11
Rolul noțiunii de limită în unele probleme de matematică - Pagina 12
Rolul noțiunii de limită în unele probleme de matematică - Pagina 13
Rolul noțiunii de limită în unele probleme de matematică - Pagina 14
Rolul noțiunii de limită în unele probleme de matematică - Pagina 15
Rolul noțiunii de limită în unele probleme de matematică - Pagina 16
Rolul noțiunii de limită în unele probleme de matematică - Pagina 17
Rolul noțiunii de limită în unele probleme de matematică - Pagina 18
Rolul noțiunii de limită în unele probleme de matematică - Pagina 19
Rolul noțiunii de limită în unele probleme de matematică - Pagina 20
Rolul noțiunii de limită în unele probleme de matematică - Pagina 21
Rolul noțiunii de limită în unele probleme de matematică - Pagina 22
Rolul noțiunii de limită în unele probleme de matematică - Pagina 23
Rolul noțiunii de limită în unele probleme de matematică - Pagina 24
Rolul noțiunii de limită în unele probleme de matematică - Pagina 25
Rolul noțiunii de limită în unele probleme de matematică - Pagina 26
Rolul noțiunii de limită în unele probleme de matematică - Pagina 27
Rolul noțiunii de limită în unele probleme de matematică - Pagina 28
Rolul noțiunii de limită în unele probleme de matematică - Pagina 29
Rolul noțiunii de limită în unele probleme de matematică - Pagina 30
Rolul noțiunii de limită în unele probleme de matematică - Pagina 31
Rolul noțiunii de limită în unele probleme de matematică - Pagina 32
Rolul noțiunii de limită în unele probleme de matematică - Pagina 33
Rolul noțiunii de limită în unele probleme de matematică - Pagina 34
Rolul noțiunii de limită în unele probleme de matematică - Pagina 35
Rolul noțiunii de limită în unele probleme de matematică - Pagina 36
Rolul noțiunii de limită în unele probleme de matematică - Pagina 37
Rolul noțiunii de limită în unele probleme de matematică - Pagina 38
Rolul noțiunii de limită în unele probleme de matematică - Pagina 39
Rolul noțiunii de limită în unele probleme de matematică - Pagina 40
Rolul noțiunii de limită în unele probleme de matematică - Pagina 41
Rolul noțiunii de limită în unele probleme de matematică - Pagina 42
Rolul noțiunii de limită în unele probleme de matematică - Pagina 43
Rolul noțiunii de limită în unele probleme de matematică - Pagina 44
Rolul noțiunii de limită în unele probleme de matematică - Pagina 45
Rolul noțiunii de limită în unele probleme de matematică - Pagina 46
Rolul noțiunii de limită în unele probleme de matematică - Pagina 47
Rolul noțiunii de limită în unele probleme de matematică - Pagina 48
Rolul noțiunii de limită în unele probleme de matematică - Pagina 49
Rolul noțiunii de limită în unele probleme de matematică - Pagina 50
Rolul noțiunii de limită în unele probleme de matematică - Pagina 51
Rolul noțiunii de limită în unele probleme de matematică - Pagina 52
Rolul noțiunii de limită în unele probleme de matematică - Pagina 53
Rolul noțiunii de limită în unele probleme de matematică - Pagina 54
Rolul noțiunii de limită în unele probleme de matematică - Pagina 55
Rolul noțiunii de limită în unele probleme de matematică - Pagina 56
Rolul noțiunii de limită în unele probleme de matematică - Pagina 57
Rolul noțiunii de limită în unele probleme de matematică - Pagina 58
Rolul noțiunii de limită în unele probleme de matematică - Pagina 59
Rolul noțiunii de limită în unele probleme de matematică - Pagina 60
Rolul noțiunii de limită în unele probleme de matematică - Pagina 61
Rolul noțiunii de limită în unele probleme de matematică - Pagina 62
Rolul noțiunii de limită în unele probleme de matematică - Pagina 63
Rolul noțiunii de limită în unele probleme de matematică - Pagina 64
Rolul noțiunii de limită în unele probleme de matematică - Pagina 65
Rolul noțiunii de limită în unele probleme de matematică - Pagina 66
Rolul noțiunii de limită în unele probleme de matematică - Pagina 67
Rolul noțiunii de limită în unele probleme de matematică - Pagina 68
Rolul noțiunii de limită în unele probleme de matematică - Pagina 69
Rolul noțiunii de limită în unele probleme de matematică - Pagina 70
Rolul noțiunii de limită în unele probleme de matematică - Pagina 71
Rolul noțiunii de limită în unele probleme de matematică - Pagina 72

Conținut arhivă zip

  • Rolul notiunii de limita in unele probleme de matematica.doc

Alții au mai descărcat și

Calculul Aproximativ al Integralelor Multiple

INTRODUCERE Această lucrare intitulată ,,Calculul aproximativ al integralelor multiple” este structurată pe patru capitole: Capitolul I...

Vechi și nou în matematică

INDRODUCERE Matematica este în general definită ca ştiinţa ce studiază modelele de structură, schimbare şi spaţiu. În sens modern, matematica este...

Proiect lecție - progresii aritmetice

Unitatea de invatare: Functii si siruri definite pe multimi de numere reale Titlul lectiei: „Progresii aritmetice” Tipul lectiei: Lectie de...

Metode Numerice Cursurile 1-9

2. ERORI 2.1. INTRODUCERE Calculele numerice fie ca sunt executate manual, fie ca sunt executate pe un calculator, implica o serie de erori de...

Matematică

CUADRICE Seminar 1. S. se afle coordonatele centrului .i raza sferei 02325222:)(222=+++.++zyxzyxS 2. S. se determine sfera de centru...

Progresii Aritmetice și Geometrice

1.DEFINITIA PROGRESIEI ARITMETICE Un sir de numere (A1 ,A2 ,… ,An ; n>=1) in care fiecare termen incepand cu al doilea ,se obtine din cel...

Te-ar putea interesa și

Cum se Face o Teză de Licență

INTRODUCERE 1. Cândva, universitatea era o universitate de elită. Se orientau spre ea numai fiii de licenţiaţi. Cu rare excepţii, cine studia avea...

Noțiunile de Geometrie Predate la Clasele I-II

INTRODUCERE Lucrarea de fata se intituleaza “Notiunile de geometrie predate la clasele I-II², si da o scurta introducere la câteva din notiunile...

Calculația costurilor la culturile în sere

Este cunoscut faptul că prin Legea contabilităţii nr 82/1991 republicată şi modificată se precizează obligativitatea organizării şi conducerii...

Sisteme Contabile Contemporane

Introducere Aparuta inca din antichitate contabilitatea a devenit sursa de informatie economica si financiara cea mai sigura. Baza a sistemului...

Managementul riscului

Introducere Disciplina de studiu Managementul Riscului este concepută a fi îndrumar și totodată un ghid util de introducere a masteranzilor în...

Automatizări

Automatica - reprezinta ramura stiintei care se ocupa cu studiul principiilor, metodelor si mijloacelor prin intermediul carora se asigura...

Ai nevoie de altceva?