Rolul noțiunii de limită în unele probleme de matematică

Introducere

Noțiunea de limită este indispensabilă în definirea și studiul conceptelor de bază ale analizei matematice: continuitatea, derivabilitatea și integrabilitatea funcțiilor.

Germenii noțiunii de limită trebuie să fie aparut din cele mai vechi timpuri, de vreme ce babilonienii aproximau radăcina pătrată dintr - un număr pozitiv de forma , unde (xn)n 1 este șirul dat de relația de recurență xn = , pentru n 1 și x1 = a.

Această aproximație s-a dovedit ulterior nu numai corectă ci și avantajoasă pentru calculul numeric.

Apoi pentru determinarea lungimii la un cerc de rază r, grecii utilizau aproximarea l pn, unde pn = 2rn sin /n este perimetrul poligonului regulat cu n laturi înscris în acest cerc.

În formulările lor moderne, noțiunile de limită de șiruri și de limită de funcții într-un punct se întalnesc în carțile lui B. Bolzano (1817) si Cauchy (1821), iar în forme apropiate de cele actuale apar odata cu inceputurile elaborarii riguroase a conceptului de multime a numerelor reale in lucrarea lui G. Cantor (1872) si Weierstrass (1874).

Dintre contributiile ultimului sfert de secol mentionam cercetarile de analiza nestandart ale lui A. Robinson (1960) in care conceptualul de limita se echivaleaza cu o teorie revitalizata a infinitatilor mici precum si cele ale lui E. Y. Mc. Shane relative la introducerea axiomatic a notiunii de limita.

Ideea de limită a unei functii f : E -> R într-un punct a R a aparut din necesitatea de a descrie comportarea lui f in jurul lui a, mai ales în apropierea lui a există o infinitate de puncte ale lui E, adică atunci când a este punct de acumulare pentru E.

Capitolul I

Noțiuni de topologie

1.1 Elemente de topologie generală

O topologie asupra unei mulțimi nevide X este prin definiție o familie de mulțimi care se bucură de următoarele trei propietăți:

- Intersecția a două mulțimi din este un element din

- Oricare reuniune de elemente din este un element din

- X și

Mulțimea X se numește spațiul topologiei iar perechea ( , ) este prin definiție spațiul topologic.

Fie x0 un punct de pe o dreapta.Vom numi vecinatate a lui x0, orice punct V care conține un interval deschis (a, b) care conține pe x0 astfel încât x0 (a,b) V. În particular orice interval deschis (a, b) care conține pe x0, adică a < x0 < b este o vecinătate a lui x0. (fig. 1.1)

a x0 b

(fig. 1.1)

Vecinătațile de forma ( ) se numesc vecinătăți simetrice ale lui x0. (fig. 1.2)

x

(fig. 1.2)

Observație: Orice vecinătate V a lui x0 conține o vecinătate simetrică a lui x0.

Demonstrație: Fie (a,b) un interval deschis și x0 (a,b) V. Cum a< x0<b rezultă:

a = min(x0-a,b- x0)>0 și (x0- ,x0+ ) (a,b) V.

Propietăți:

- Orice punct x X are o vecinătate. Într-adevăr X este o vecinătate pentru oricare din punctele sale.

- Dacă V este o vecinătate a lui X și U V, atunci U este o vecinătate a lui X.

- Dacă V’ și V’’ sunt două vecinătați ale lui x atunci este o vecinătate a lui X.

- Dacă V este o vecinătate a lui X, există o parte G V astfel încât V este vecinătate a oricărui punct din G.

Aceste propietăți sunt suficiente pentru a defini o topologie în felul următor: