Analiza repartiției tensiunilor

Capitolul 1

Metoda elementului finit(M.E.F)

1.1. Introducere

Metoda elementului finit a devenit, în mai puţin de 25 de ani, o metodă generală de rezolvare a diferitelor tipuri de probleme complexe privind atât fenomenele staţionare, cât şi nestaţionare din toate ramurile ştiinţelor inginereşti.

Termenul de „element finit” a apărut pentru prima dată în literatura tehnică în anul 1960 într-o lucrare cu titlul „Elemente finite în analiza stărilor plane de tensiune” [1].

Metoda elementului finit a fost prezentată de Turner, Clough, Martin şi Topp (sunt prezentate aplicaţii cu elemente finite simple pentru structuri aeronautice ).Zienkiewicz şi Holister prezintă metoda elementului finit aplicată la problemele de analiză a tensiunilor [5].

Metoda elementului finit constă în împărţirea unui corp în bucăţi mai mici, numite elemente finite, care se conectează între ele într-un număr finit de puncte, numite noduri [10].

Formularea metoda elementului finit se poate face intuitiv sau riguros matematic.

Ideea de bază a metodei elementului finit este de a găsi soluţia unei probleme complicate înlocuind-o cu una simplă aproximativă şi mult apropiate de soluţia exactă [5].

1.2. Descrierea generală a metodei elementului finit

În metoda elementului finit, mediul continuu poate fi materializat în solid, lichid sau gaz este prezentat ca un ansamblu de subdomenii (părţi) denumite elemente finite. Acest proces de selectare a punctelor (părţi) din corp, în care în locul soluţiei exacte vom avea o soluţie aproximativă care poartă denumirea de discretizare [5].

Ţinând seama de geometria corpului şi de numărul coordonatelor spaţiale independente (x,y,z) necesare formulării problemei, grupează punctele selectate în configuraţi geometrice uni-, bi- sau tridimensionale. Prin aceasta corpul este divizat într-un număr de regiuni mai mici, adică elemente finite, contururile putând fi linii drepte sau curbe.

Intersecţiile linilor de contur se numesc noduri sau puncte nodale (primare), iar frontiera dintre ele se numesc, după caz, linie nodală sau plan

nodal. Uneori este util să fie introduse puncte nodale suplimentare, numite noduri secundare, sau în centrul elementului finit numite noduri interne [11].

Precizia metoda elementului finit depinde de numărul elementului finit utilizate pentru discretizare. Este esenţial ca tipul elementului finit folosit să asigure creşterea preciziei odată cu creşterea numărului de element finit. Un astfel de element este numit convergent.

Două condiţii conduc la asigurarea convergenţei monotone a metoda elementului finit :

 compatibilitatea elementului finit;

 elementele finit trebuie să prezinte exact deplasările din corpul rigid şi starea de tensiune constantă.

Un element finit este compatibil dacă funcţia de interpolare asigură continuitatea câmpului de deplasări.

Toate programele moderne aplicând metoda elementului finit, utilizează metoda deplasărilor, necunoscutele fiind deplasările nodale. După aflarea acestora se calculează tensiunile.

Dacă nodurile unui element finit (sau ale unui ansamblu de elemente finite de formă oarecare) li se impun deplasări de corp rigid, metoda elementului finit trebuie să conducă la tensiuni reale.

Dacă nodurile unui element finit primesc deplasări corespunzătoare unui câmp de tensiuni constante (deci deplasările nodurilor respectă o distribuţie liniară) atunci metoda elementului finit trebuie să conducă la rezultate exacte şi să se regăsească tensiunile constante [10].

1.3. Discretizarea domeniului

Această operaţie permite înlocuirea domeniului cu un număr finit de grade de libertate, cu un sistem având un număr finit de grade de libertate [5].

Acest proces de selectare a punctelor din corp în care în locul soluţiei exacte se obţine o soluţie aproximativă se numeşte discretizare [1].

Forma, mărimea, numerotarea şi configuraţia elementelor trebuie alese astfel încât structura originală să fie cât mai bine simulată.

O reţea de elemente este optimă atunci când precizia cerută este atinsă cu un minim de resurse în precizia de analiză şi calcul.

De multe ori alegerea tipului de element este impusă de geometria structurii şi d numărul de coordonate spaţiale independente, necesare pentru descrierea sistemului [5].