Matematici Speciale

Subiectu 1

Mărime scalară

Definiţie: O mărime reprezentată printr-un număr după ce s-a fixat o unitate de măsură se numeşte mărime scalară.

Exemple: o densitate, un volum, un unghi, o temperatură, o arie etc.

Mărimi vectoriale

Axă

Definiţie: Se numeşte axă o dreaptă (infinită) pe care s-a ales un sens pozitiv. Considerăm xx’ o astfel de dreaptă şi sensul pozitiv ales de la x spre x’. Fixăm pe această dreaptă un segment AB cu lungimea reprezentată prin numărul a(fig.1.1). Lungimea algebrică a segmentului AB este +a, iar a segmentului BA este –a.

Sens de rotaţie

Considerăm o axă xx’ şi un observator situat pe axă în sensul pozitiv. Vom spune că rotatia este pozitivă sau directă, dacă observatorul constată că se efectuează de la dreaptă spre stânga(fig.1.2)

În caz contrar, rotaţia este negativă sau retrogradă.

Vectori

O mărime vectorială este caracterizată prin două elemente: un element de natură algebrică, care

reprezintă un număr ce măsoară o lungime şi un element de natură geometrică, care indică o direcţie.

Vector legat.

Un vector legat este un vector pentru care cunoaştem: suportul(xx’), sensul pe suport (de la

x spre x’), originea(A) şi un număr pozitiv care indică lungimea a a segmentului AB(fig.1.4). Acest număr se numeşte modulul vectorului.

Vector alunecător

Vom spune că un vector este vector alunecător dacă originea lui nu este precizată.

În statică, forţele sunt considerate vectori alunecători deoarece echilibrul unui corp solid nu se

schimbă dacă forţele alunecă în lungul suportului lor.

Vectori polari

Anumiţi vectori sunt independenţi de o schimbare a sensului ales ca sens pozitiv pe axele de

coordonate. De exemplu, o forţă, o viteză, un vector câmp electric. În acest caz, spunem că avem vectori polari.

Vectori axiali

Anumiţi vectori îşi schimbă semnul atunci când se schimbă sensul ales ca sens pozitiv pe una

din axele de coordonate. De exemplu, în cazul produsului vectorial şi al vectorului câmp magnetic. Aceşti vectori se numesc vectori axiali.

Observaţie: Egalitate vectorială există doar între vectori axiali şi vectori polari.

Subiectul 2

Produsul scalar

Produsul scalar(interior) a doi vectori şi este un scalar obţinut din produsul a trei numere

a, b şi , în care este unghiul pe care-l fac între ei cei doi vectori şi .

Produsul scalar este:

- comutativ

- distributiv

Produsul vectorial

Produsul vectorial(exterior) a doi vectori şi este un vector perpendicular pe cei doi

vectori şi , al cărui modul este egal cu produsul şi care are faţă de cei doi vectori o orientare pozitivă. Produsul vectorial a doi vectori se notează .

Observaţie: Dacă niciunul din cei doi vectori şi nu este nul, şi dacă , atunci

suporţii vectorilor sunt paraleli, deoarece .

Modulul vectorului este egal cu numărul care măsoară aria paralelogramului construit pe

vectorii echipolenţi cu şi , duşi printr-un punct O din spaşiu(fig.1.7).

Suportul produsului vectorial este perpendicular pe planul OAB. Sensul său este astfel încât o

rotaţie mai mică decât π , care aduce vectorul peste vectorul să fie în sensul pozitiv.