Analiza

1.Criteriul de convergenta al lui Cauchy

O serie xn de nr R este convergente ó pt or. µ>0 ex. un nµ ap N a.i. xk<e(k=n,m), m> nµ Dem. Sn=xn,n,(k=1,n) ap. N, xn (n=1,inf) convergent ó (Sn) este convergent catre un el. Kó (Sn) este sir Cauchy ,=> or. µ>0 ex. nµ ap N |Sm-Sn|< µ,m>=n>=nµ+1ó|Sm-S nµ+1|< µ or. M>= nµ+1=>|xn|(n=ne,m)< µ,m> nµ

2.Criteriul comparatiei

Fie xn, an -convergent(n=1,inf), xn ap. C, an ap. R+, |xn|<an atunci ambelel serii sunt convergente Dem. Fie e>0, deoarece an-convergent => ex ne>=n0 a.i |an|<e(n=ne,m),or m>ne(cauchy) atunci |xn|<=|xn|<=an=|an|<e(n=ne,m) din cauchy => xn este convergent.

3.Criteriul raportului

Fie xn (n=1,inf) si l1=lim sup|xn+1|/|xn| si l2=liminf |xn+1|/|xn| (inf) dc l1<l => seria convergenta, dc. l2>l este divergenta.dc. l=lim|xn+1|/|xn| pt l: <1 convergent ,>1 divergent, =1 nu ne putem decide. Demo.pp. l1<1, An={|xn+1|/|xn|,|xn+2|/|xn+1|&.} vn=supAn,vn->l1(sc). Fie l1<a<1, ex. n0 ap N ai l1<vn=a,n=>n0; |xk+1|/|xk|<a , k>=n0. Dam valori :|xn0+1|<a|xn0|.. |xn0+2|<a|xn0+1|.. &..|xn|<a|xn-1|, Inmultirea ecuatiilor => |xn|<=an-n0|xn0|=an|xn0|/a la n0 Din criteriul convergentei => xn este absolut convergent. Pp. l2>l, vn=infAn,un->l2(cr) => ex n0 ap N ai. un>1,n>=n0. un=inf{|xn+1|/|xn|,|xn+2|/|xn+1|&.}>1 => |xn+1|/|xk|>=1,k>=n>=n0; |xk+1|>=|xk|>=&.>=|xn0|>0 ( pot lua |xn0|>0) => xn nod-> 0; conf . corolal => xn (n=1,inf) este divergent

Criteriul radacini al lui Cauchy

Fie seria xn (n=1,inf),l1=limsup(rad ord n(|xn|=nr2= liminf(rad ord n(|xn|) (inf). Atunci dc l1<1 => seia este absolute convergenta, iar daca l2 >1 este divergente. Dc ex l limia dc . l: <1 convergenta, l>1 divergenta, l=1 un ne putem decide. Demo. pp. l1 <1 . Fie l1<a<1 si An={el . in ordine crescatoare ..}, vn=supAn, vn->l1(sc) => ex n0 ap N ai. vn ap a,n>=n0=> nr<a,n>=n0 => |xn|<an,n>=n0. Din criteriul comparatie => seria este absolu convergente. pp l2>1. Fie un=infAn =>un->l2(cr)>1 => ex. n0 ap N ai un>1, n>=n0 =>inf An >1 , nr>=1, n>=n0=> |xn|>=1,n>=n0=>xn not -> 0 => seria este divergente .

5. Teorema lui Abel

Fie xn, yn(n=1,inf) ap R a.i xn este descrestator si lim xn=0, iar yn este marginit. Atunci xnyn este convergent. Dem. tn= yk (k=0,n) => sirul tn este marginit deci M>0 a.i |tn|<=M or. n ap N. pentru e>0 ex ne ap N ai. n>=n0 => xn< e/2M. Avem pt n>=ne si p ap N |xnyn| <=M( xn-xn+p+1) +Mxn+p-1+Mxn<e.

5. Teorema lui Leibniz

Fie seria (-1)nan, (n=1,inf) an>0.an->0(sc) atunci seria e convergente Dem. bn=(-1)nn ap N. Sn= bk(k=1,n) n ap N->Sn=0,n=2k; Sn=1,n=2k+1=>|Sn|<=1 or n ap N Conform criteriul lui Abel => anbn (n=1,inf) este convergent

5. Teorema lui Dirichlet

Fie seria anxn(n=1,inf) xn ap C, an->a>=0(sc) si xn(n=1,inf) este convergente anxnconvergenta Dem. Sn=xk, Wn=akxk, Tn=a(k-a)xk (k=1,n),n ap N. Tn=Wn aSn => Wn=Tn +aSn,n ap N xk convergent => ex S ap R a.r Sn->S => ex M>0 ai. |Sn|<=M or n ap N an-a->0(sc) Din teorema lui Abel => a(n-a)xn este convergtenta => Tn->T ap R => Wn=Tn +aSn -> T+aS ap R=>anxn este convergenta

6. I criteriu de comparatie pt serii cu termeni pozitivi

Fie seriile an, bn(n=1,inf), 0<=an<=bn,n>=n0,.Atunci daca an este convergent =>bn convergent iar dc an este este divergenta => bn este divergenta. Dem. Sn=ak,Tn=bk(k=1,n) n ap N => 0<=Sn<=Tn ( am pp n0=1).Dc. bn este convergent => ex. T>0 ai . Tn<T, n ap N,=>Sn <=Tn,n ap N;Dc. an este divergent => Sn -> inf(cr) =>bn divergenta.

6. II criteriu de comparatie pt serii cu termeni pozitivi

Fie seriile an, bn(n=1,inf), an,bn,>0,n ap N, ai. an+1/an<=bn+1/bn,n>n0 At. daca bneste convergents =>an este convergent. iar dc an este divergent => bn este divergent. Dem. cn=an/bn, n ap N => 0<=cn+1<=cn,n>=n0 => cn->c(sc) ap R+ => ex M>0 ai o<=cn<=M, nap N=>an <=cbn, n ap N.Applic primal criterio de comparatie pt serii cu termeni pozitivi