Subiectele pentru examenul de licență specialitatea - informatică și limbi moderne aplicate

ALGEBRA

1. Subgrup normal. Condiţii necesare şi suficiente ca un subgrup să fie normal. Grup factor. Exemple.

2. Morfisme de grupuri. Nucleul şi imaginea morfismului de grupuri. Imaginea şi imaginea inversă a unui subgrup, respectiv subgrup normal, la morfisme de grupuri. Teorme de izomorfism pentru grupuri.

3. Dimensiunea şi bazele spaţiului vectorial. Matricea de trecere de la o bază la alta. Coordonatele vectorului la schimbarea bazei. Subspaţii. Operaţii cu subspaţii ale unui spaţiu vectorial.. Baza şi dimensiunea sumei şi a intersecţiei subspaţiilor.

4. Aplicaţii liniare ale spaţiilor vectoriale. Determinarea aplicaţiilor liniare cu ajutorul matricelor. Coordonatele vectorului transformat.

5. Subspaţii invariante. Vectori şi valori proprii. Polinom caracteristic. Reducerea matricelor la forma diagonală.

6. Funcţii pătratice. Forma canonică. Metoda lui Lagrange de reducere a funcţiilor pătratice la forma canonică. Forma normală peste câmpurile C şi R. Legea inerţiei.

GEOMETRIA

7. Vectori. Produsul scalar, vectorial şi mixt al vectorilor: definiţii, proprietăţi. Produsul scalar, vectorial şi mixt al vectorilor în coordonate. Aplicaţii.

8. Diferite forme ale ecuaţiilor planului şi dreptei din spaţiu; poziţia relativă a două plane, a dreptei şi planului; distanţa de la un punct la un plan; unghiul dintre două plane; condiţiile de perpendicularitate a două plane, a dreptei şi planului.

9. Studiul suprafeţelor de ordinul II pe ecuaţiile lor canonice: elipsoidul, hiperboloizii, paraboloizii, conul de ordinul al doilea.

ANALIZA MATEMATICĂ

10. Integrala nedefinită. Proprietăţi generale. Schimb de variabilă şi integrarea prin părţi în integrala nedefinită.

11. Integrala Riemann. Proprietăţi ce se exprimă prin egalităţi şi inegalităţi. Formula Newton-Leibniz. Schimb de variabilă şi integrarea prin părţi.

12. Funcţii de mai multe variabile. Derivate parţiale. Funcţii diferenţiabile. Condiţii necesare şi suficiente. Derivate şi diferenţiale de ordin superior. Extreme locale şi globale.

13. Serii numerice. Criteriul general Cauchy de convergenţă pentru serii numerice. Serii cu termeni pozitivi. Criteriul 1 şi 2 de comparaţie. Criteriul Cauchy-Hadamard şi D Alambert de convergenţă a seriilor pozitive.

14. Serii cu termeni oarecare. Serii absolut convergente şi serii semiconvergente. Serii alternante. Teorema lui Leibniz.

15. Serii de puteri. Structura domeniului de convergenţă. Teorema 1 Abel. Formula Cauchy-Hadamard pentru determinarea razei de convergenţă. Dezvoltarea în serii de puteri ale unor funcţii elementare.

ECUAŢII DIFERENŢIALE

16. Ecuaţii diferenţiale de ordinul întîi integrabile efectiv (ecuaţii cu variabilele separabile, omogene, liniare, cu diferenţiala totală exactă).

17. Ecuaţii diferenţiale liniare de ordin superior cu coeficienţi constanţi.

18. Sisteme de ecuaţii diferenţiale liniare omogene de ordinul I cu coeficienţi constanţi.

LOGICA MATEMATICĂ

19. Funcţiile algebrei logice. Realizarea lor prin formule. Polinomul lui Jigalkin.

20. Forme normale perfecte. Teorema despre existenţa şi unicitatea formei normale perfecte.

21. Mulţimi funcţional închise. Teorema despre completitudinea funcţională.

TEORIA GRAFURILOR

22. Mulţimi stabile în grafuri neorietnate: mulţimi stabile interior şi mulţimi stabile exterior, nucleu, cuplaj.

23. Arbori în grafuri neorientate. Arbori parţiali.

24. Problema colorării unui graf. Estimări ale numărului cromatic. Cazul grafului planar.

PROBABILITĂŢI ŞI STATISTICĂ

25. Modelul matematic al experienţei cu un număr de cazuri cel mult numerabil: definiţia experienţei aleatoare; mulţimea de evenimente elementare; definiţia mulţimii de evenimente aleatoare, operaţii cu evenimente aleatoare; definiţia probabilităţii şi proprietăţile ei; probabilitatea clasică.

26. Estimaţii statistice ale parametrilor legilor de repartiţie; estimaţii nedeplasate şi absolut corecte; , S2, .

27. Variabile aleatoare discrete unudimensionale şi bidimensionale (repartiţia probabilităţilor, repartiţia comună, determinarea repartiţiilor componentelor vectorului bidimensional, caracteristici numerice).

28. Probabilităţi condiţionate (definiţie şi proprietăţi). Evenimente independente. Formula probabilităţii totale şi formulele Bayes.