Identificarea Sistemelor

STUDIUL PROPRIETĂŢILOR STATISTICE ALE ZGOMOTULUI ALB

1. Date de identificare

Nume/Prenume Semnătura

Intocmit

Verificat

Data elaborării/verificării

2. Scopul lucrării

Scopul identificării experimentale a sistemelor este construirea modelelor matematice ale sistemelor dinamice pe baza datelor rezultate din măsurători efectuate asupra sistemelor. Acestă metodologie este larg întâlnită în cercetarea ştiinţifică în aproape toate disciplinele şi deci identificarea experimentală are o arie de aplicare extrem de largă.

Abordarea de bază în identificarea experimentală se porneşte de la un set de date măsurate ale intrărilor respectiv ieşirilor sistemului şi se determină cel mai potrivit model al acestuia. O problemă cheie este aceea că în aproape toate situaţiile, ieşirea nu este determinată numai de semnalul de intrare în sistem ci şi de perturbaţii aleatoare (zgomote); perturbaţia poate fi spre exemplu cauzată de zgomotul traductorului şi/sau perturbaţii ale sarcinii.

Pentru a analiza şi înţelege abordările specifice identificării este necesar în prealabil să înţelegem câteva proprietăţi de bază ale perturbaţiilor şi în particular ale perturbaţiilor aleatoare. În acest sens în cadrul laboratorului vor fi studiate unele proprietăţi ale proceselor aleatoare discrete staţionare.

3. Breviar teoretic

Trăsătura caracterisitică a perturbaţiilor este aceea că valorile acesteia nu sunt cunoscute apriori. Dacă, un model deterministic ca de exemplu este rareori o cale potrivită pentru a descrie o perturbaţie, mult mai natural este să folosim în acest scop concepte probabilistice pentru a descrie perturbaţiile.

Un exemplu simplu de proces aleator (stochastic) este rezultatul obţinut la aruncarea unei monede de N = 5000 de ori (+1 pentru cap şi –1 pentru pajură). Vom obţine secvenţe de ieşire diferite de fiecare dată când repetăm experimentul. Rezultatul obţinut de la fiecare experiment este denumit realizare a procesului aleator.

Descrierea utilizată pentru semnalele deterministe nu poate fi folosită pentru cazul proceselor aleatoare. Căutările metodelor potrivite pentru caracterizarea acestor a fost lungă şi dificilă, dar matematicienii şi statisticienii secolului XX au dezvoltat un întreg cadru pentru procesele aleatoare care permite descrierea acestora într-o manieră care se aseamănă în multe privinţe cu descrierea semnalelor deterministe. Întreg acest cadru este construit în jurul funcţiilor de corelaţie.

Pentru un semnal aleator funcţia este numită valoarea medie statistică. este operatorul de mediere statistică. Funcţia de (auto) covarianţă este definită astfel:

(1)

Funcţia de autocovarianţă este egală cu funcţia de autocorelaţie pentru cazul în care . Valoarea rw() caracterizează corelaţia dintre valorile procesului la un interval de timp . Valori apropiate de înseamnă o corelaţie puternică, zero indică absenţa corelaţiei iar valori negative indică o corelaţie negativă.

Experimentul aruncării monezii este un proces aleator tipic. Se ştie că obţinem diferite realizări de fiecare dată când rulam procesul prin urmare elementul caracteristic este că fiecare aruncare este independentă de toate celelalte; altfel spus nu există nici o corelaţie între aruncări. In termeni matematici procesul poate fi descris ca o secvenţă de variabile aleatoare independente distribuite identic cu valoarea medie şi varianţa . Drept urmare, funcţia de covarianţă devine:

(2)

Funcţia de autocorelaţie/autocovarianţă a procesului aleator al aruncării monezii evidenţiază că aruncările sunt necorelate, (probabilitatea de a obţine cap sau pajură nu depinde de ceea ce s-a obţinut deja la aruncările precedente) şi că varianţa procesului este .

În domeniul timpului, un proces aleator este caracterizat prin valoarea sa medie şi prin funcţia de corelaţie . Transformata Fourier a funcţiei de corelaţie reprezintă densitatea de putere a procesului; acesta descrie componentele spectrale ale procesului aleator în acelaşi mod în care transformata Fourier descrie semnalele deterministe. Densitatea spectrală de putere a unui proces aleator având funcţia de corelaţie este definită prin expresia:

(3)

Funcţia de corelaţie poate fi determinată dacă se cunoaşte densitatea spectrală cu ajutorul transformării Fourier inverse:

(4)

În particular, varianţa semnalului este dată de relaţia:

(5)

Aruncarea monezii este un proces care are funcţia de corelaţie o secvenţă impuls unitar. Transformata Fourier a acestei funcţii este o constantă, deci densitatea spectrală de putere a procesului are valori egale pentru toate componentele spectrale.

Aruncarea monezii este un exemplu de semnal aleator zgomot alb adică o secvenţă de variabile aleatoare independente cu o anumită distribuţie de probabilitate. Totuşi, ca model de perturbaţii, aruncarea monezii nu este un model foarte realist. Un model mai potrivit se obţine dacă zgomotul este modelat ca un zgomot alb cu distribuţie Gaussiană cu valoarea medie statistică zero şi varianţa . Un astfel de proces este deseori notat .