Reprezentarea Numerelor

Lucrarea 1. Reprezentarea numerelor

1. Sisteme de numere poziţionale

Sistemele de numere poziţionale sunt sistemele în care numerele sunt reprezentate

printr-un şir de cifre, unde fiecărei poziţii din şir îi este asociată o pondere. Valoarea

numărului este dată de suma cifrelor înmulţite cu ponderea aferentă.

Un număr N într-un sistem poziţional sub forma N = bn−1bn−2...b1b0.b−1b−2...bm−1 , iar

valoarea lui N este dată de relaţia

1

*

n

i

i

i m

N b r

−

=−

= Σ , unde r reprezintă radix-ul sau baza de

numeraţie, iar bi reprezintă cifrele în baza r ( 0 ≤ bi < r ).

Numere reprezentate în sisteme poziţionale în bazele 10 şi 2

3 2 1 0

N1=173410 =1*10 + 7 *10 + 3*10 + 4*10

1 0 1 2 3

N2 45.63510 4*10 5*10 6*10 3*10 5*10 = = + + − + − + −

4 3 2 1 0

N3 =100112 =1* 2 + 0* 2 + 0* 2 +1* 2 +1* 2 =1910

1 0 1 2 3

N4 10.0012 1* 2 0* 2 0* 2 0* 2 1* 2 2.12510 = = + + − + − + − =

1.1 Baze de numeraţie

După cum am văzut în paragraful anterior, un rol

important în reprezentarea numerelor în sisteme

poziţionale îl are radix-ul sau baza de numeraţie. În viaţa

de zi cu zi, baza de numeraţie folosită este 10, ce

corespunde sistemului zecimal. Baza 10 cuprinde cifrele

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Numerele N1 si N2 din Exemplu 1

sunt numere reprezentate în baza 10. În sistemele digitale

este folosit sistemul binar ce corspunde bazei de

numeraţie 2. Aceasta cuprinde două cifre: 0 şi 1.

Numerele N3 şi N4 din Exemplul 1 sunt reprezentate în

Cifra

hexazecimală

Valoare

zecimală

A 10

B 11

C 12

D 13

E 14

F 15

Tabelul 1.1

baza 2. O alta bază de numeraţie uzual folosită este şi baza 16, ce corespunde sistemului

hexazecimal. Acest sistem cuprinde 16 cifre: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F.

Corespondentul zecimal al cifrelor hexazecimale este prezentat în Tabelul 1.1.

1.2 Conversii între baze de numeraţie

1.2.1 Conversia din bazele 2 şi 16 în baza 10

Conversia din baza 2, respectiv 16, se face conform formulei

1

*

n

i

i

i m

N b r

−

=−

= Σ , unde bi

reprezintă cifra binară, respectiv hexazecimală, iar r este 2 sau 16.

Conversii din baza 2 şi 16 în baza 10

5 4 3 2 1 0

2 10

2 1 0 1 2 3

2 10

2 1 0

16 10

1 0 1

16 10

5 110011 1* 2 1* 2 0* 2 0* 2 1* 2 1* 2 51

6 110.011 1* 2 1* 2 0* 2 0* 2 1* 2 1* 2 6.375

7 36 3*16 6*16 11*16 875

8 1 . 1*16 13*16 10*16 29.625

N

N

N B

N DA

− − −

−

= = + + + + + =

= = + + + + + =

= = + + =

= = + + =

1.2.2 Conversia din baza 10 în baza 2 şi 16

Conversia unui număr întreg din baza 10 în altă bază se face prin algoritmul de

împărţiri succesive. Astfel numărul N reprezentat în baza 10 se împarte la noua bază în

mod succesive, până când se obţine câtul 0. Resturile obţinute în urma împărţirilor se reţin,

ele constituind cifrele reprezentării în noua bază. Ultimul rest obţinut reprezintă cifra cea

mai semnificativă a noii reprezentări, primul rest obţinut fiind cifra cea mai puţin

semnificativă a noii reprezentări ( b0 ).