Teoria Sistemelor Automate

- Un exemplu de sistem îl constituie circuitul electric RLC din figura 1.2. Dacă tensiunea variabilă u1 este generată din exterior (având forma de variaţie în timp independentă de circuit) si dorim să cunoaştem modul de variaţie în timp a tensiunii uL de la bornele inductivităţii L, atunci circuitul RLC poate fi considerat un sistem orientat, în care u1 este mărime de intrare, uL mărime de ieşire, iar tensiunile uR si uC de la bornele rezistorului R şi, respectiv, condensatorului C, sunt mărimi de stare.

Sistemul are 2 variabile de stare, deoarece circuitul RLC conţine 2 elemente capabile să înmagazineze energie (capacitatea C si inductivitatea L). Aşa cum se va arăta ulterior, dintre cele trei tensiuni tip efect (uR, uC si uL ), numai uR si uC pot fi alese variabile de stare.

In condiţiile în care unul dintre parametrii R, L, C este variabil în timp, acesta trebuie considerat mărime parametrică. Dacă pe lângă uL ne interesează si modul de variaţie în timp a tensiunii uR, atunci avem două mărimi de iesire (uL si uR ), iar uR este atât variabilă de ieşire, cât si variabilă de stare.

- Sistemul reprezentat de circuitul electric RLC din figura 1.2 este, evident, un sistem cu memorie. Un circuit simplu format numai dintr-o rezistenţă R, având ca intrare tensiunea si ca ieşire curentul, sau invers, este un sistem fără memorie.

Fig. 1.1. Reprezentarea unui sistem Fig. 1.2. Exemplu de sistem

- Circuitul electric din figura 1.3, având întrerupătorul I acţionat la momente arbitrare de timp, este un sistem cu structură variabilă.

- Circuitul electric de tip RC din figura 1.4, având ca intrări tensiunile u1 si u2, iar ca ieşiri tensiunile v1 si v 2, constituie un sistem multivariabil.

Fig. 1.3. Exemplu de sistem cu Fig. 1.4. Exemplu de sistem

structură variabilă multivariabil

- Aplicaţia 1.2. Circuitul electric din figura 1.5, cu două intrări (u1 si u2) si o iesire (v1), are următorul model I-S-E, de ordinul unu :

C1x& = −(1/R1+1/R2)x1 + u1 /R1 + u2 /R2 , v1 = x1 .

- Aplicaţia 1.3. Sistemul multivariabil din figura 1.4, având ca intrări tensiunile u1 si u2, iar ca iesiri tensiunile v1 si v2, poate fi descompus în două subsisteme interconectate S1 si S2 ( fig. 1.6 ), având fiecare aceeaşi structură ca sistemul din figura 1.5 .

Fig. 1.5. Sistem simplu tip RC Fig. 1.6. Sistem multivariabil descompus

Pe baza modelelor subsistemelor Σ1 si Σ2

rezultă modelul I-S-E al sistemului compus, sub următoarea formă :

- Aplicaţia 1.4. Pentru circuitul electric din figura 1.2, cu intrarea u1 si iesirea uL, pe baza teoremelor lui Kirchoff, obtinem următorul model I-E :

LC+ RC+ u = LCu , Lu&&Lu&L1&&

de ordinul doi, cu caracter dublu derivator. Dacă considerăm ca iesire tensiunea uC, obtinem un sistem liniar de ordinul doi, cu modelul

LCu+ RCu+ uC&&C&C = u1 .

- Aplicaţia 1.5. Sistemul cu structură variabilă din figura 1.3 are modelul

R2C2Tu + [2&& T+(R1 +R2)C2]u + u2&2 = u1 ,

unde constanta de timp T este egală cu zero sau cu R1C1, după cum comutatorul I se află în pozitia deschis, respectiv închis.

- Aplicaţia 1.6. Referitor la sistemul multivariabil din figura 1.4, din ecuatiile de la aplicaţia 1.3, prin eliminarea variabilei v2, respectiv a variabilei v1, obtinem modelul I-E sub forma