Integrarea prin metoda trapezului

Sa se scrie

a) o functie pentru calculul valorii functiei f(x)

f(x) = -x pentru xd-1

x*x pentru -1<x<1

x pentru xe1

b) o functie pentru calculul integralei definita prin metoda trapezelor cu n pasi egali, pe intervalul [a,b] dupa formula

n-1

h/2*( f(a)+f(b)+ 2 f(a+ih))

i=1

h=(b-a)/h

b) un program care calculeaza integrala functiei definita la punctul a folosind functia b pe un interval dat [p,q] cu precizia E, cu precizarea se repeta calculul integralelor pentru n=10,20,…. Pana cand diferenta dintre 2 integrale succesive devine mai mica decat E.

Din punct de vedere matematic, cele doua probleme care trebuie sa le studiem sunt rezolvarea unei functii cu mai multe ramuri si integrarea ei prin metoda trapezelor.

Metoda trapezelor este metoda prin care se poate calcula o integrala si consta in aflarea valoarei integralei ca fiind o suma de trapeze mici si isoscele, de inaltime egala, trapezele rezultand din impartirea ariei, care se afla intre valoarea functie si axa de coordonata x.

Imi propun sa gasesc o formula pentru aflarea acestei arii.

Stabilim 2 puncte x1 si x2. Pe intervalul [x1,x2] se va integra functia.

Apoi stabilim o constanta pentru numerul de trapeze prin care vrem sa impartim graficul.

n = numarul trapezelor

Aria unui trapez isoscel este :

A = h/2 * (c+d)

h este inaltimea trapezului

c este baza mica a trapezului

d este baza mare a trapezului

Inaltimea trapezelor in cazul nostru va fii:

h = ( x2-x1)/n

Pentru a gasi formula care ne da suma trapezelor, adica valoarea integralei vom folosi inductia matematica.

Vom calcula aria primului trapez :

A1 = h/2 * ( f(x1) + f(x1+h))

Vom calcula aria celui de-al doilea trapez:

A2 = h/2 * ( f(x1+h) + f(x1+2h))

Folosind inductia matematica rezulta ca suma tuturor arilor va fii:

n-1

S = h/2 [ f(x1)+ 2  f( x1+ih ) +f(x2) ]

i=1