Mulțimi fuzzy și Operații cu mulțimi fuzzy

Notiunea de multime in sens clasic

In acceptiunea clasica o multime este o colectie (ansamblu) de obiecte de un anumit fel.

Notiunile de multime si element sunt primitive in teoria multimilor. Multimile pot fi definite

in trei moduri:

a) Prin enumerarea elementelor sale. Metoda este posibila in cazul multimilor finite si

numarabile. Exemplu: multimea culorilor spectrului vizibil C={rosu, oranj, galben,

verde, albastru, indigo, violet}

b) Cu ajutorul unui predicat de forma P(x) care stabileste o proprietate a elementelor x ce

compun multimea cu notatia {x|P(x)}. Exemplu: multimea numerelor intregi mai mari

decat 1, M={x|x>1}. Metoda se preteaza in cazul multimilor numarabile si

nenumarabile, finite sau infinite.

c) Cu ajutorul unei functii caracteristice m a multimii de elemente x.

In baza definitiei urmatoare se realizeaza extensia de la teoria clasica a multimilor catre teoria

multimilor fuzzy.

m : X →[0,1] A este o functie caracteristica a multimii A daca pentru toti x exista:

⎪⎩

⎪⎨ ⎧

∉

∈

=

daca x A

daca x A

m x A 0

1

( ) .

Observatie. Practic metoda functiei caracteristice este o extensie a predicatului considerand

echivalenta P(x)⇔(m (x) =1) P .

Conceptul de multime fuzzy

Metoda functiei caracteristice pentru definirea multimilor este instrumentul de baza in cazul

multimilor infinite si nenumarabile. In teoria multimilor fuzzy, edificiul conceptual este bazat

pe functia de apartenenta.

Definitie. Fie X o mulțime oarecare. Se numește mulțime fuzzy (în X) rezultatul unei aplicații

F : X →[0,1]. Mulțimea fuzzy F este caracterizată de funcția de apartenență:

m : X →[0,1] F .

Deci orice element x din X are un grad de apartenenta la multimea F, m (x)∈[0,1] F .

Valorile 0 și 1 reprezintă cel mai mic și respectiv cel mai mare grad de apartenență la F al

unui element x ∈ X. O multime fuzzy este complet determinata sub forma unui set de tuple:

F {(x m x ) x X} F = , ( ) | ∈ .

In continuare se prezinta cateva exemple utile pentru intelegerea conceptului de multime

fuzzy.

(1). Sa presupunem ca dorim sa definim o multime de tipuri de automobile avand

proprietatea de a fi scumpe, din urmatoarea multime de marci {BMW, Fiat, Dacia,

Daewo, Mercedes, Rolls Royce}.

Aceasta este o problema de clasificare in conditii de incertitudine datorate unor motive

pe care nu le vom analiza aici (subiectivism, considerente de piata, etc.). O abordare

din punct de vedere fuzzy a acestei probleme de clasificare este adecvata. Astfel, o

varianta ar fi sa consideram Rolls Royce apartinand indubitabil clasei de masini

scumpe, iar la celalalt pol, Dacia, care nu apartine masinilor scumpe. Intre cele doua

optiuni exista un grup de marci destul de greu de clasificat. Multimea fuzzy ce

caracterizeaza clasificarea automobilelor scumpe se exprima astfel:

{(Rolls Royce, 1), (Mercedes, 0,8), (BMW, 0,7), (Fiat, 0.5), (Daewo, 0.3), (Dacia, 0)}.

Observatie. Exemplul prezentat are particularitatea ca multimea de discurs (X) nu este

numerica, motiv pentru care nu se poate constitui o functie de apartenenta m(x) in forma

analitica. Exemplul urmator abordeaza o situatie pur numerica.

(2). Sa presupunem ca dorim sa definim multimea numerelor naturale “apropiate de 6”. In

maniera fuzzy aceasta ar putea fi:

{(3, 0,1), (4, 0,3), (5, 0,6), (6, 1.0), (7, 0,6), (8, 0,3), (9, 0,1)}.

Functia de apartenenta a acestei multimi are urmatoarea expresie analitica:

1 ( 6)2

( ) 1

+ −

=

x

m x ,

prin intermediul careia pot fi practic furnizate o infinitate de valori ale multimii fuzzy

ce descrie proprietatea data. De exemplu: (5,5, 0,8), (100, 0,000113161), etc..

Exprimarea multimilor fuzzy ca ansambluri de perechi de valori (tuple binare) este similara cu

definitia produsului cartezian al doua multimi: A× B = {(a,b)|a∈ A si b∈B}cu

particularitatea ca B ≡ [0,1], iar A eate domeniul de definitie al valorilor a. Aceasta

echivaleaza cu definirea unor puncte in planul (x ,m(x)) ceea ce denota de fapt graficul

functiei de apartenenta. Evident, aceasta are sens insa numai in cazul in care elementele

x∈ X sunt numerice.