Transformata Fourier Discretă Unidimensională

I. Scopul lucrării

Familiarizarea cu Transformata Fourier Discretă Unidimensională şi folosirea unor programe ce implementeză Transformata Fourier Rapidă cu Decimare în Frecvenţă.

II. Noţiuni teoretice

Transformata Fourier Discretă (D.F.T. - Discrete Fourier Transform) este introdusă atunci când se pune problema calculului transformatei Fourier a unei funcţii cu ajutorul calculatorului. O astfel de operaţie poate fi realizată asupra unui număr finit de eşantioane ale semnalului original, iar rezultatul transformatei se prezintă sub forma unui şir finit de numere

Fie semnalul s(t) continuu şi transformata sa Fourier:

Se eşantionează semnalul cu frecvenţa f=1/T şi se obţin N eşantioane, iar cu notăm transformarea care ia în calcul doar mulţimea finită de eşantioane :

Pentru aplicaţii practice, unde şirul de valori este finit, se foloseşte relaţia :

Fie două şiruri de numere complexe x(n) şi X(k), periodice şi de perioadă N. Prin definiţie Transformata Fourier Discretă Directă Unidimensională stabileşte între cele două şiruri următoarea relaţie :

iar transformata inversă este:

D.F.T. are următoarele proprietăţi : liniaritate, simetrie, translaţie, convoluţia circulară şi îndeplineşte egalitatea lui Parseval.

Ecuaţiile de definire a D.F.T. dau o relaţie între două mulţimi de N numere complexe care pot fi scrise sub formă matriceală. Notăm : W=exp(-j2/N). Afixele numerelor W , numite coeficientii D.F.T se găsesc pe cercul unitate, aceste numere reprezentând de fapt rădăcinile ecuaţiei:

Zn - 1 = 0

Forma matriceală a transformatei directe este urmatoarea:

În funcţie de puterile lui N avem F.F.T. cu decimare în frecvenţă (se descompune şirul transformatei) sau cu decimare în timp (bazat pe descompunerea şirului care va fi supus transformatei in subşiruri care la rândul lor vor fi descompuse ş.a.m.d.).

În lucrarea de laborator se foloseşte F.F.T. cu decimare în timp : 4. F.F.T. cu decimare in timp : şirul x(n) se descompune succesiv în două subşiruri date de elementele cu indice par şi respectiv de cele cu indice impar.