Calculul funcțiilor de matrice exponențială matriceală

3.1 Tema

^Intelegerea conceptului de "functie de matrice" si ^nsusirea principalelor metode si algoritmi de

calcul al functilor de matrice.

3.2 Functii de matrice

Consideram o functie f : D  IC ! IC si e A 2 Cnn o matrice data. Ne propunem mai ^nt^ai

sa denim notiunea de functie de matrice adica semnicatia expresiei

F = f(A): (3.1)

Fie A(z) polinomul minimal al matricei A, i.e. polinomul monic de grad minim cu proprietatea

A(A) = 0, si i 2 C; i = 1 : l; zerourile acestuia av^and ordinele de multiplicitate mi.

Avem

A(z) = zm +

mX1

k=0

izi =

Yl

i=1

(z i)mi (3.2)

unde m def = grad(A) =

Pl

i=1mi:

Denitia 3.1 Fie A 2 Cnn si

 = f(i;mi) j i = 1 : l; i 2 C; mi 2 Ng (3.3)

multimea zerourilor polinomului minimal A al matricei A ^mpreuna cu multiplicitatile respective.

Daca functia f : D  C ! C este analitica pe o multime deschisa D ce contine punctele

i ; i = 1 : l atunci spunem ca f este denita pe spectrul matricei A iar multimea valorilor

functiei f pe spectrul matricei A este

f() =

n

f(k)(i) j i = 1 : l; k = 0 : mi 1

o

: (3.4)

^In particular, o functie ^ntreaga f (i.e. analitica pe D = C) este denita pe spectrul oricarei

matrice A 2 Cnn.

2 LABORATOR 3. FUNCT II DE MATRICE

Desi introducerea notiunii de functie de matrice prin intermediul polinomului de interpolare

Lagrange-Sylvester este, probabil, mai intuitiva pentru un inginer, pentru evidentierea rapida

a unor proprietati utile ^n elaborarea unor proceduri de calcul efectiv, preferam urmatoarea

denitie.

Denitia 3.2 Fie (A) spectrul matricei A 2 Cnn si D  C un domeniu cu frontiera

sucient de neteda astfel ^nc^at (A)  D: Daca f este o functie analitica pe D [ atunci

F def = f(A) =

1

2i

I

(zI A)1f(z)dz : (3.5)

Calculul elementelor matricei F, i.e. a integralei Cauchy

fij =

1

2i

I

eTi

(zI A)1ejf(z)dz (3.6)

poate efectuat, de exemplu, cu ajutorul teoremei reziduurilor, desi aceasta cale nu este recomandat

a dec^at, eventual, pentru matrice de dimensiuni nesemnicative.

Mentionam, de asemenea, posibilitatea exprimarii functiilor de matrice prin serii matriceale

de puteri.

^In continuare, prezentam c^ateva proprietati ale functiilor de matrice, utile ^n dezvoltarile

procedurale care fac obiectul metodelor de calcul recomandate ca ind cele mai bune ^n momentul

actual.

Propozitia 3.1 Daca functia f este denita pe spectrul matricei A atunci

f(TAT1) = Tf(A)T1: (3.7)

oricare ar matricea nesingulara T.

Propozitia 3.2 Daca matricea A 2 Cnn este superior (inferior) triunghiulara, iar f este o

functie denita pe spectrul lui A atunci

a) F = f(A) este superior (inferior) triunghiulara;

b) fii = f(aii); i = 1 : n:

Propozitia 3.3 Fie (A) = f1; 2; : : : ; ng spectrul matricei A 2 Cnn. Atunci pentru orice

functie f denita pe spectrul lui A avem

(f(A)) = ff(1); 2; : : : ; f(n)g : (3.8)

Propozitia 3.4 Matricele A 2 Cnn si F = f(A) comuta i.e.

Af(A) = f(A)A: (3.9)

3.3 Calculul functiilor de matrice. Algoritmi

Tehnicile numerice de evaluare a functiilor de matrice, recomandate de experienta numerica

acumulata se pot ^mparti ^n doua categorii:

a) metode bazate pe calculul valorilor proprii;

b) metode aproximative bazate pe trunchierea unor dezvoltari ^n serie.