Calculul răspunsului în timp al sistemelor liniare

5.1 Tema

^Insusirea celor mai bune tehnici si metode de calcul al raspunsului ^n timp al sistemelor liniare

continue si discrete la diverse tipuri de intrari, precum si pentru calculul raspunsului permanent

la intrari persistente, ^n particular al caracteristicilor de frecventa.

5.2 Raspunsul sistemelor discrete

Calculul raspunsului ^n timp al sistemelor cu timp continuu cu ajutorul echipamentelor numerice

presupune, ^n mod obligatoriu, o discretizare a timpului si calculul valorilor raspunsului

^n momentele de timp discret corespunzatoare. ^In acest scop se utilizeaza o procedura de discretizare

adecvata care reduce problema la calculul raspunsului unui sistem discret. Din acest

motiv vom ^ncepe cu prezentarea modalitatilor de calcul al raspunsului ^n timp al sistemelor

discrete la intrari arbitrare.

5.2.1 Raspunsul sistemelor liniare discrete la intrari arbitrare

Algoritmii de calcul al raspunsului ^n timp al unui sistem liniar, discret S = (A;B;C;D) denit

de

(S)



x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k); x(0) = x

y(k) = Cx(k) + Du(k)

(5.1)

se obtin prin utilizarea ca atare a ecuatiilor de stare datorita specicului recurent al acestora.

^In consecinta, daca evolutia, presupusa data, a vectorului de intrare u(k), pe intervalul de

interes k = 0 : kf este stocata ^ntr-o matrice U 2 IRm(kf +1) astfel ^nc^at U(:; k) = u(k 1)

(pentru ca vom considera ca indexarile elementelor unui tablou^ncep cu 1, e.g. ca^n MATLAB,),

starea initiala si toate starile curente sunt memorate ^ntr-un vector unic x 2 IRn iar iesirile

calculate se memoreaza ^n tabloul Y 2 IRl(kf +1) astfel ^nc^at Y (:; k) = y(k 1), k = 0 : kf ,

atunci putem utiliza urmatorul algoritm.

Algoritmul 5.1 (Se dau sistemul discret (A;B;C;D), starea initiala x(0) = x,

intervalul 0 : kf , tabloul valorilor intrarilor U 2 IRm(kf+1). Algoritmul calculeaza

raspunsul y(k), k = 0 : kf memorat ^n tabloul Y 2 IRl(kf+1).)

2 LABORATOR 5. RASPUNSUL ^IN TIMP

1. Pentru k = 1 : kf + 1

1. Y (:; k) = C  x + D  U(:; k)

2. x A  x + B  U(:; k)

Pentru anumite cazuri particulare si precizate de intrari, algoritmul de mai sus poate

facut mai ecient ^n sensul ca intrarile nu mai trebuie memorate si unele operatii pot evitate.

Exemplicam prin calculul raspunsului la:

a) conditii initiale, i.e. al raspunsului liber, i.e. cu intrarea identic nula u(k) = 0, k = 0 : kf

Algoritmul 5.2

1. Pentru k = 1 : kf + 1

1. Y (:; k) = C  x

2. x A  x

b) calculul sirului pondere, i.e. al raspunsului la un impuls unitar discret (pentru sistemele

cu o singura intrare) u(0) = 1, u(k) = 0, k = 1 : kf , ^n conditii initiale nule:

Algoritmul 5.3

1. Y (:; 1) = D

2. x = B

3. Pentru k = 2 : kf + 1

1. Y (:; k) = C  x

2. x A  x

c) calculul sirului indicial, i.e. al raspunsului la o treapta unitara discreta (pentru sistemele

cu o singura intrare) u(k) = 1, k = 0 : kf , ^n conditii initiale nule:

Algoritmul 5.4

1. Y (:; 1) = D

2. x = B

3. Pentru k = 2 : kf + 1

1. Y (:; k) = C  x + D

2. x A  x + B

O interpretare imediata a raspunsului este posibila daca acesta este prezentat ^ntr-o forma

graca, obtinuta prin utilizarea unei proceduri adecvate, de exemplu functia plot din MATLAB.

Pentru utilizarile ulterioare a procedurilor de mai sus vom apela la denumirile MATLAB

ale functiilor corespondente de calclul al raspunsului unui sistem discret, dupa cum urmeaza:

dlsim raspunsul la intrari arbitrare;

dinitial raspunsul la conditii initiale (intrare identic nula);

dimpulse raspunsul la impuls unitar;

dstep raspunsul la treapta unitara.

dar cu sintaxe de utilizare care vor diferi, posibil, de sintaxele functiiloor cu aceleasi nume din

MATLAB.