Extras din laborator
4.1 Tema
Formarea deprinderilor de utilizare a conventiilor MATLAB de reprezentare numerica a modelelor
sitemice de stare si de transfer. Testarea algoritmilor de conversie intre modele sistemice
trecum si calculul modelelor pentru sisteme complexe obtinute prin conectarea unor sisteme
simple cu accent pe studiul coonexiunilor fundamentale.
4.2 Reprezentarea numerica a modelelor sistemice.
Conventii MATLAB
^In aceasta sectiune ne vom ocupa de reprezentarile numerice ale modelelor matematice ale
sistemelor liniare si asa cum sunt utilizate acestea de catre functiile din MATLAB CONTROL
TOOLBOX.
4.2.1 Modele sistemice liniare
^In general, un sistem liniar continuu, respectiv discret, este denit printr-un model de stare de
forma
(S)
x_ (t) = Ax(t) + Bu(t)
y(t) = Cx(t) + Du(t)
; t 2 IR; respectiv
x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k)
y(k) = Cx(k) + Du(k)
; k 2 ZZ:
(4.1)
unde vectorii x 2 Rn, u 2 Rm si y 2 Rl sunt starea, intrarea si, respectiv, iesirea sistemului iar
A;B;C;D sunt matrice constante de dimensiuni corespunzatoare. Dimensiunea n a spatiului
starilor X = Rn se numeste ordinul (sau dimensiunea) lui (S).
Pe scurt, un model de stare al unui sistem liniar este denit de un cvartet de matrice si ^n
consecinta se noteaza S = (A;B;C;D). Matricea A 2 Rnn caracterizeaza dinamica interna a
sistemului, coloanele matricei B 2 Rnm denesc canalele de intrare, liniile matricei C 2 Rln
denesc canalele de iesire iar elementele matricei D 2 Rlm reprezinta caile de transfer direct
2 LABORATOR 4. MODELE SISTEMICE
intrare-iesire. Daca D = 0 atunci sistemul S, notat pe scurt S = (A;B;C), este pur dinamic, ^n
sensul ca orice transfer intrare-iesire este posibil numai prin intermediul modicarii (dinamice)
a starii x. Aceste idei sunt evidentiate de schema bloc asociata lui (S) (e.g. continuu - gura
4.1).
D
B
R
C
A
- - h - - - h -
-
?
6
u x_ x y
+
+
Figura 4.1: Structura modelului de stare al unui sistem liniar (continuu).
Modelul de stare (S) este invariant la o transformare liniara de stare
~x = Tx; (4.2)
unde T 2 Rnn este o matrice nesingulara arbitrara, ^n sensul ca noul vector de stare ~x satisface
ecuatii (~ S) de acelasi tip cu (S), ^n care matricele corespunzatoare sunt
~ A = TAT 1 ; ~B = TB ;
~ C = CT 1 ; ~D = D:
(4.3)
Modelele (S) si (~ S) legate prin relatiile (4.3) se numesc echivalente (sau asemenea) si sunt
indiscernabile prin experimente intrare-iesire, deci reprezinta un acelasi sistem liniar considerat
modulo relatia de echivalenta (4.3). Pe scurt, au sens sistemic numai acele proprietati ale
sistemului (S) care sunt invarianti ai lui (S) ^n raport cu transformarile (4.3). Din motive de
ecienta si siguranta a calculului, deseori vom restr^ange clasa transformarilor utiliz^and ^n (4.3)
numai matrice T = U ortogonale. ^In acest caz, vom spune ca modelele (S) si (~ S) sunt ortogonal
echivalente si, ^n mod corespunzator, vom acorda o atentie speciala invariantilor ortogonali ai
lui (S).
^In MATLAB Control System Toolbox pentru modelele de stare se utilizeaza sigla ss (state
space model) si orice cvartet de matrice (A;B;C;D) care satisface restrictiile dimensionale
evidente (i.e. A este patrata si cele patru matrice pot "asezate" ^n tabloul
A B
C D
),
reprezinta un model de stare valid continuu sau discret. Atributul de "continuu", respectiv
"discret", este xat exclusiv de utilizator prin modul de folosire. De aceea, ^n continuare vom
considera numai sistemele continue (sistemele discrete se vor lua ^n considerare numai atunci
c^and apar aspecte specice).
^In practica inginereasca proprietatile de transfer intrare-iesire ale unui sistem liniar ^n starea
initiala nula, adica pentru x(0) = 0, sunt caracterizate prin intermediul matricei de transfer
T(s) pentru sistemele continue, respectiv T(z) pentru sistemele discrete, denite de
T(s) = C(sI A) 1B + D; respectiv T(z) = C(zI A) 1B + D (4.4)
si se constata usor ca T(s) si T(z) sunt matrice cu l linii si m coloane ale caror elemente sunt
functii rationale de variabila complexa.
Preview document
Conținut arhivă zip
- Modele Sistemice Liniare. Reprezentare Numericia, Conversii, Conexiuni.pdf